Question

x- 5|>2 e |2x- 1|>=3

Answer 1

amos lá.

Veja, Nhanala, como você informou que se trata de um sistema de inequações modulares, então vamos ter isto:

i)

{|x - 5| > 2      . (I)
{|2x-1| ≥ 3      . (II)

ii) Agora veja isto e não esqueça mais: quando se trabalha com inequações modulares, há uma regra bem simples que deveremos observar e que é esta. Veja:

Se |x| > a --- então isto vai significar que: ou x < -a, ou x > a
Se |x| < a --- então isto vai  significar que: -a < x < a.
Se |x| ≥ a --- então isto vai significar que: ou x ≤ -a, ou x ≥ a
Se |x| ≤ a --- isto vai significar que: -a ≤ x ≤ a.

iii) Portanto, tendo a regra prática vista aí em cima, então vamos resolver cada uma das suas expressões modulares.

iii.1) Para a expressão |x-5| > 2, teremos isto:

ou
x - 5 > 2 ----- passando "-5" para o 2º membro,temos:
x > 2+5
x > 7 ----- Esta é uma hipótese válida para a 1ª expressão: |x-5| > 2.

ou
x-5 < - 2 ---- passando "-5" para o 2º membro, temos:
x < -2+5
x < 3 ------- Esta é outra hipótese válida para 1ª expressão: |x-5| > 2.

iii.2) Para a expressão |2x-1| ≥ 3, teremos:

ou
2x-1 ≥ 3 ---- passando "-1" para o 2º membro, temos:
2x ≥ 3+1
2x ≥ 4
x ≥ 4/2
x ≥ 2 ------ Esta é uma hipótese válida para a 2ª expressão: |2x-1| ≥ 3

ou
2x-1 ≤ - 3 ----- passando "-1" para o 2º membro, teremos:
2x ≤ -3+1
2x ≤ -2
x ≤ -2/2
x ≤ -1 ---- Esta é outra hipótese válida para a 2ª expressão: |2x-1| ≥ 3.

iv) Agora veja que, como se trata de um sistema, então a resposta vai ser a intersecção entre o que vale para a primeira expressão e o que vale para a 2ª expressão.
Faremos o seguinte: marcaremos o que vale para cada uma das expressões com o símbolo //////////////. E a intersecção entre o que vale para cada uma das expressões, marcaremos com o símbolo ||||||||||.

v) Então vamos marcar o que vale para cada uma das expressões modulares com o símbolo visto aí em cima e a intersecção com o símbolo também já visto. Assim teremos:

|x-5| > 2 ........ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / (3○) ____________ (7○) / / / / / / / / /
|2x-1|≥3........ / / / / / / /  (-1●) ____ (2●) / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
Intersecção.. | | | | | | | | (-1●) ____ (2●) | | | | (3○)____________ (7○) | | | | | | | | | | | |

Veja que a intersecção ficou nos seguintes intervalos: (note que colocamos as "bolas" brancas e pretas, significando, respectivamente, intervalo aberto e intervalo fechado).

x ≤ -1, ou 2 ≤ x < 3, ou x > 7 ---- Esta é a resposta.

Se quiser, também poderá dar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = (-∞; -1] ∪ [2; 3) ∪ (7; +∞).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.