Question

Calcule a velocidade aproximada de um foguete cuja aceleração é dado por a(t)=te (elevado a t). No intervalo 0 ≤ t ≤ 5. Como faço o cálculo?

Answer 1

Olá!

    Lembre que integrando a aceleração em relação ao tempo você obtém a velocidade. Primeiro encontremos uma primitiva pra função:$\displaystyle\int te^t\;dt = te^t-\int e^t\;dt = e^t(t-1)$.

Ou seja, a velocidade é dada pela função  $v(t)=e^t(t-1)$  no intervalo dado. 

    Note agora que, como a derivada da velocidade é a aceleração (a qual integramos para encontrar a velocidade), temos que a segunda derivada da velocidade é 

$v''(t) = (te^t)' = e^t+te^t = e^t(1+t),$,

que é sempre positiva, pois  $e^t$ é sempre positivo e temos t definido no intervalo [0, 5].
  
    Logo, temos que a primeira derivada da velocidade se anula somente em t = 0 e a segunda derivada é sempre positiva. Assim, t = 0 é ponto de mínimo (teste da segunda derivada). Conclui-se, então, que a função é crescente e vai atingir o máximo valor neste intervalo no extremo t = 5.

   Portanto, a velocidade  máxima será  

$v(5) = e^5(5-1) = 4e^5.$




Bons estudos!