Question

Determine o valor de A tal que 4^log 2 (A) mais 2A - 2 ≡ 0

OBS: 2 é a base e o (A) é o logaritmando e coloquei o (mais escrito e esse simbolo (≡) porque estou sem a tecla de adição e igualdade.

Answer 1

Como $A$ é o logaritmando, devemos ter a restrição

$A>0$

Sendo assim

$4^{\log_{2}A}+2A-2=0\\ \\ \left(2^{2} \right)^{\log_{2}A}+2A-2=0\\ \\ 2^{2\log_{2}A}+2A-2=0\\ \\ \left(2^{\log_{2}A} \right)^{2}+2A-2=0 \,\,\,\text{ (i)}$

Pela prórpria definção de logaritmo, respeitadas as restrições

$A>0$, $b>0$ e $b \neq 1$

temos que

$b^{x}=A$ se e somente se $x=\log_{b}A$. Indicamos esse fato assim:

$b^{x}=A \Leftrightarrow x=\log_{b}A$

Então, no caso da equação $\text{(i)}$, em que $b=2$ e $x=\log_{2}A$, temos pela definição acima que

${\underbrace{2}_{b}}^{\overbrace{{\log_{2}A}}^{x}}=A$, pois $x=\log_{2}A$.

Voltando à equação $\text{(i)}$

${\underbrace{\left(2^{\log_{2}A} \right)}_{A}}^{2}+2A-2=0\\ \\ \\ A^{2}+2A-2=0 \text{\,\,\,\, (equa\c{c}\~{a}o do }2^{\circ}\text{ grau em }A\text{, com }A > 0\text{)}\\ \\ A^{2}+2A=2\\ \\ A^{2}+2A+1=2+1\\ \\ \left(A+1 \right )^{2}=3\\ \\ A+1 = \pm \sqrt{3}\\ \\ A= \pm \sqrt{3}-1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lll} A &=\sqrt{3}-1 & \text{ou}\\ A &=-\sqrt{3}-1 & \text{(n\~{a}o serve, pois }A>0\text{)} \end{array}\\ \\ \right.$

Logo, $A=\sqrt{3}-1$ é a única solução para a equação.