Question

Resolva 3x^6 - 5x^5 + 8x^4 - 10x³ + 7x²- 5x + 2 = 0, sabendo que i é raiz dupla.

Answer 1

Se um número complexo é raiz de um polinômio, então o seu conjugado também o é, e com a mesma multiplicidade. Sendo assim podemos fatorar o polinômio

$P(x)=3x^{6}-5x^{5}+8x^{4}-10x^{3}+7x^{2}-5x+2$

colocando em evidência os fatores $(x-i)^{2}$ e $(x+i)^{2}$, ou seja, podemos escrever

$P(x)=(x-i)^{2}(x+i)^{2} \cdot Q(x)\\ \\ P(x)=\left[(x-i)(x+i) \right ]^{2}\cdot Q(x)\\ \\ P(x)=\left(x^2-i^2 \right )^{2} \cdot Q(x)\\ \\ P(x)=\left(x^2-(-1) \right )^{2} \cdot Q(x)\\ \\ P(x)=\left(x^{2}+1 \right )^{2} \cdot Q(x)$

Vamos encontrar o polinômio, efetuando a divisão de $P(x)$ por $\left(x^{2}+1 \right )^{2}=x^{4}+2x^{2}+1$.

Efetuando a divisão dos polinômios, encontramos

$Q(x)=P(x) \div \left(x^{4}+2x^{2}+1 \right )\\ \\ Q(x)=3x^{2}-5x+2$

Então

$P(x)=\left(x^2+1 \right )^{2} \cdot \left(3x^{2}-5x+2 \right)$

As outras raízes de $P(x)$ são as raízes de $Q(x)=3x^{2}-5x+2$. Então, para encontrarmos essas raízes, fazemos

$3x^{2}-5x+2=0\\ \\ 3x^{2}-3x-2x+2=0 \\ \\ 3x\left(x-1 \right )-2\left(x-1 \right )=0\\ \\ \left(3x-2 \right )\cdot\left(x-1 \right )=0\\ \\ 3 \cdot \left(x-\frac{2}{3} \right ) \cdot \left(x-1 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rlcrl} x-\frac{2}{3}&=0&\text{ ou }&x-1&=0\\ x&=\frac{2}{3}&\text{ ou }&x&=1 \end{array}$

Logo, as outras raízes são $\frac{2}{3}$ e $1$.