Question

quantos são os números, de5 algarismos, nos quais a soma dos algarismos das unidades e das dezenas e16 e a soma de todos os algarismos e um múltiplo de5?

Answer 1

Vou representar esse número de $5$ algarismos dessa forma:

$\boxed{\underline{\;a\;}\;\underline{\;b\;}\;\underline{\;c\;}\;\underline{\;d\;}\;\underline{\;e\;}\;}$

onde as letras $a,b,c,d,e$ representam os algarismos em suas respectivas posições; desde as dezenas de milhares até as unidades. Assim, de forma geral, temos que

$a,b,c,d,e \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$


De acordo com o enunciado do problema, devemos ter:

$\begin{array}{lc} d+e=16 &\;\;\;\text{(i)}\\ a+b+c+d+e=5k,\;k \in \mathbb{N}&\;\;\;\text{(ii)} \end{array}$


Substituindo a equação $\text{(i)}$ na equação $\text{(ii)}$, temos

$a+b+c+\overbrace{16}^{d+e}=5k,\;k \in \mathbb{N}\\ \\ a+b+c=5k-16\\ \\ a+b+c=5k-20+4\\ \\ a+b+c=5\cdot(k-4)+4\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{(iii)}$


Como $a,b,c$ são algarismos de $0$ a $9$, podemos afirmar que

$0+0+0 \leq a+b+c \leq 9+9+9 \\ \\ 0 \leq a+b+c \leq 27 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{(iv)}$


Da equação $\text{(iii)}$, concluímos que o resultado da soma $a+b+c$ deixa resto $4$ na divisão por $5$. A partir disso, e pela desigualdade $\text{(iv)}$, temos:

$a+b+c \in \{4,9,14,19,24\}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{(v)}$

Para gerar esses resultados, concluímos que $k$ só pode assumir valores inteiros de$4$ até $8$, ou seja, $k=4..8$.


Note que, como $a$ é o primeiro algarismo, o $0 \text{ (zero)}$ não é uma possibilidade que $a$ possa assumir, pois nenhum número tem como primeiro algarismo o $0 \text{ (zero)}$. Com certeza há um jeito de contar todos os elementos sem ter que listá-los, provavelmente usando combinação com repetição, mas eu não o conheço como isso funciona. Sendo assim, vamos listar TODAS as possibilidades para os algarismos $a,b,c$.


A) Para $a+b+c=4$:

$\begin{array}{cl} (a,b,c) \in \{&(1,0,3),(1,1,2),(1,2,1)(1,3,0),\\ &(2,0,2),(2,1,1),(2,2,0),\\ &(3,0,1),(3,1,0),\\ &(4,0,0)\} \end{array}\\ \\ \text{total}(a+b+c=4)=4+3+2+1=\boxed{10 \text{ possibilidades}}$


B) Para $a+b+c=9$:

$\begin{array}{cl} (a,b,c) \in \{&(1,0,8),(1,1,7),(1,2,6),(1,3,5),(1,4,4),(1,5,3),(1,6,2),(1,7,1),\\ &(1,8,0),\\ &(2,0,7),(2,1,6),(2,2,5),(2,3,4),(2,4,3),(2,5,2),(2,6,1),(2,7,0),\\ &(3,0,6),(3,1,5),(3,2,4),(3,3,3),(3,4,2),(3,5,1),(3,6,0),\\ &(4,0,5),(4,1,4),(4,2,3),(4,3,2),(4,4,1),(4,5,0),\\ &(5,0,4),(5,1,3),(5,2,2),(5,3,1), (5,4,0),\\ &(6,0,3),(6,1,2),(6,2,1),(6,3,0),\\ &(7,0,2),(7,0,1),(7,2,0),\\ &(8,0,1),(8,1,0),\\ &(9,0,0) \} \end{array}\\ \\ \text{total}(a+b+c=9)=9+8+7+6+5+4+3+2+1=\boxed{45 \text{ possibilidades}}$


C) Para $a+b+c=14$:

$\begin{array}{cl} (a,b,c) \in \{ &(1,4,9),(1,5,8),(1,6,7),(1,7,6),(1,8,5),(1,9,4),\\ &(2,3,9),(2,4,8),(2,5,7),(2,6,6),(2,7,5),(2,8,4),(2,9,3),\\ &(3,2,9),(3,3,8),(3,4,7),(3,5,6),(3,6,5),(3,7,4),(3,8,3),(3,9,2),\\ &(4,1,9),(4,2,8),(4,3,7),(4,4,6),(4,5,5),(4,6,4),(4,7,3),(4,8,2),\\& (4,9,1),\\ &(5,0,9),(5,1,8),(5,2,7),(5,3,6),(5,4,5),(5,5,4),(5,6,3),(5,7,2),\\ &(5,8,1),(5,9,0),\\ &(6,0,8),(6,1,7),(6,2,6),(6,3,5),(6,4,4),(6,5,3),(6,6,2),(6,7,1),\\ &(6,8,0),\\ &(7,0,7),(7,1,6),(7,2,5),(7,3,4),(7,4,3),(7,5,2),(7,6,1),(7,7,0),\\ &(8,0,6),(8,1,5),(8,2,4),(8,3,3),(8,4,2), (8,5,1),(8,6,0),\\ &(9,0,5),(9,1,4),(9,2,3),(9,3,2),(9,4,1),(9,5,0) \} \end{array}\\ \\ \text{total}(a+b+c=14)=6+7+8+9+10+9+8+7+6=\boxed{70 \text{ possibilidades}}$


D) Para $a+b+c=19$:

$\begin{array}{cl} (a,b,c) \in \{&(1,9,9),\\ &(2,8,9),(2,9,8),\\ &(3,7,9),(3,8,8),(3,9,7)\\ &(4,6,9),(4,7,8),(4,8,7),(4,9,6),\\ &(5,5,9),(5,6,8),(5,7,7),(5,8,6),(5,9,5),\\ &(6,4,9),(6,5,8),(6,6,7),(6,7,6),(6,8,5),(6,9,4),\\ &(7,3,9),(7,4,8),(7,5,7),(7,6,6),(7,7,5),(7,8,4),(7,9,3),\\ &(8,2,9),(8,3,8),(8,4,7),(8,5,6),(8,6,5),(8,7,4),(8,8,3),(8,9,2),\\ &(9,1,9),(9,2,8),(9,3,7),(9,4,6),(9,5,5),(9,6,4),(9,7,3),(9,8,2),\\ &(9,9,1)\} \end{array}\\ \\ \text{total}(a+b+c=19)=1+2+3+4+5+6+7+8+9=\boxed{45 \text{ possibilidades}}$


E) Para $a+b+c=24$:

$\begin{array}{cl} (a,b,c) \in \{&(6,9,9),\\ &(7,8,9),(7,9,8),\\ &(8,7,9),(8,8,8),(8,9,7)\\ &(9,6,9),(9,7,8),(9,8,7),(9,9,6) \} \end{array}\\ \\ \text{total}(a+b+c=24)=1+2+3+4=\boxed{10 \text{ possibilidades}}$


Então, o total de possibilidades para os algarismos $a,b,c$ é

$\text{total}\left(a+b+c\in\{4,9,14,19,24\} \right )\\ \\ =10+45+70+45+10\\ \\ =\boxed{180 \text{ possibilidades}} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{(vi)}$


F) Para $d+e=16$:

$(d,e) \in \{(7,9),(8,8),(9,7)\}\\ \\ \text{total}(d+e=16)\\ \\ =\boxed{3 \text{ possibilidades}} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{(vii)}$


Pelas equações $\text{(vi)}$ e  $\text{(vii)}$, o total de números que atendem as exigências do enunciado é

$\text{total}\left(a+b+c\in\{4,9,14,19,24\} \right ) \times \text{total}(d+e=16)\\ \\ =180 \times 3\\ \\ =\boxed{540 \text{ n\'{u}meros}}$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

5