Question

1ª Utilizando integral, calcule o comprimento do segmento da reta y=3x do ponto
(1,3) ao ponto (2,6).

Answer 1

Olá!

Para calcularmos o comprimento de um segmento utilizando a integral, vamos utilizar a seguinte fórmula:

L = $\int\limits^a_b { \sqrt{1 + (f'(x))^{2}} } \, dx$

Bom, a reta é f(x) = 3x. 

Primeiramente, vamos calcular a derivada de f(x):

f'(x) = 3

Os limites serão de x = 1 até x = 2. Substituindo esses resultados na fórmula, temos que:


L = $\int\limits^2_1 { \sqrt{ 1 + (3)^{2}}} \, dx = \int\limits^2_1 { \sqrt{1 + 9} } \, dx = \int\limits^2_1 { \sqrt{10} } \, dx$ = $\sqrt{10} \int\limits^2_1 {} \, dx = \sqrt{10} x$

Como $\sqrt{10}$ é um número, podemos tirar da raiz.

Agora, aplicando os limites, obtemos:

L = $\sqrt{10} . 2 - \sqrt{10} . 1 = \sqrt{10}$

Logo, o comprimento da curva y = 3x do ponto (1,3) até o ponto (2,6) é igual a $\sqrt{10}$