Question

Resolva o sistema utilizando a regra cramer:?
x + 2y - z = -5
-x +2y - 3z= -3
4x - y - z = 4

Answer 1

Todos os números que acompanham as incógnitas vão fazer parte de uma matriz:

$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 &-1 \\ -1 & 2 & -3 \\ 4 & -1 & -1 \end{vmatrix} \\\\\\ D = (-2-24-1)-(-8+2+3) \\\\ D = -27+3 \\\\ \boxed{D = -24}$

Agora para descobrir cada incógnita, substituímos os resultados das equações na coluna correspondente à letra:

$D_{x} = \begin{vmatrix} -5 & 2 &-1 \\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & -1 \end{vmatrix} \\\\\\ D_{x} = (10-24-3)-(-8+6-15) \\\\ D_{x} = -17+17 \\\\ D_{x} = 0 \\\\ x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{0}{-24} = \boxed{0}$

Com o y:

$D_{y} = \begin{vmatrix} 1& -5 & -1\\ -1& -3 & -3 \\ 4& 4 & -1 \end{vmatrix} \\\\\\ D_{y} = (3+60+4)-(12-5-12) \\\\ D_{y} = 67+5 \\\\ D_{y} = 72 \\\\ y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{72}{-24} = \boxed{-3}$

Agora o z:

$D_{z} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -5 \\ -1 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{vmatrix} \\\\\\ D_{z} = (8-24-5)-(-40-8+3) \\\\ D_{z} = -21+45 \\\\ D_{z} = 24 \\\\ z = \frac{D_{z}}{D} = \frac{24}{-24} = \boxed{-1}$

Portanto, solução do sistema:

$\boxed{\boxed{S = \{(0,-3,-1)\}}}$