Question

Na otimização de condições de processos de duas ou mais variáveis, é possível utilizar vários métodos de obtenção dos pontos de máximo e de mínimo, tais como (a) Matriz Hessiana, (b) Método de Lagrange, cada qual com sua especificidade.



Quanto aos métodos para determinação dos pontos críticos, avalie as asserções abaixo.



I – O método (a) tem como característica sempre ter uma função principal e uma restrição.

II – Para o método (b), é necessário conhecer dois conjuntos de derivadas, conhecidos por gradientes.

III – No método (a), primeiramente, é necessário determinar os pontos críticos, ou seja, os pontos que zeram as derivadas segundas.

IV – A matriz hessiana da função f(x,y) = x³ + y³ é:

A asserções corretas são:

Alternativas
Alternativa 1:
Apenas I e III.

Alternativa 2:
Apenas II e IV.

Alternativa 3:
Apenas I e IV.

Alternativa 4:
Apenas I, II e IV.

Alternativa 5:
Apenas II, III e IV.

Answer 1

Olá,

   Analisando de baixo para cima, analisaremos primeiramente o item IV.

   A matriz hessiana, é formada por um conjunto de derivadas de segunda ordem, como ali temos duas variáveis, logo nossa matriz hessiana será 2x2.
   Derivando parcialmente a equação em relação a "x" teremos:
  
   $3x^{2}+0 \\ 6x+ 0$

   Note que a primeira linha se trata da derivada 1° e a segunda linha da derivada 2°.

   Logo está será nossa primeira linha da matriz hessiana.
   Agora derivando parcialmente em relação a "y".

    $0+3y^{2} \\ \\ 0+6y$

    Está será nossa segunda linha da matriz.
    Logo chegamos a conclusão de que o item IV está correto.

    Analisando o item III, chegamos a conclusão de que também está correto, pois no processo para determinar máximos e mínimos, primeiramente precisamos dos pontos críticos para substituir na matriz hessiana e assim encontrar os autovalores. Portanto o item III está correto.

    Chegamos a conclusão então, que a resposta correta é a alternativa 5, pois sabendo que IV e III estão corretas, está é a única possível a ser considerada.

   Espero ter ajudado.