Question

Em um quadrado perfeito ABCD , duas retas saem de D e intercepta o ponto médio dos lados AB e BC , formando um ângulo beta (B) , qual o sen B ?

Answer 1

Veja pelo anexo. Este é um triângulo isósceles e por isso "a" e "c" possuem a mesma medida. Vou descobrir o seno através do cosseno, e para descobrir isso, vou usar o teorema dos cossenos.

Então por Pitágoras vou achar "b" e o valor de "a" e "c" (iguais).

$b^{2} = (\frac{x}{2})^{2}+ (\frac{x}{2})^{2} \\\\ b^{2} = \frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{4} \\\\ b^{2} = \frac{2x^{2}}{4} \\\\ b = \sqrt{\frac{2x^{2}}{4}} \\\\ \boxed{b = \frac{x\sqrt{2}}{2}}$

E descobrindo a=c:

$a^{2} = x^{2}+(\frac{x}{2})^{2} \\\\ a^{2} = x^{2}+\frac{x^{2}}{4} \\\\ a^{2} = \frac{4x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{4} \\\\ a^{2} = \frac{5x^{2}}{4} \\\\ a = \sqrt{\frac{5x^{2}}{4}} \\\\ \boxed{a = \frac{x\sqrt{5}}{2}}$


Pelo teorema dos cossenos:

$(\frac{x\sqrt{2}}{2})^{2} = (\frac{x\sqrt{5}}{2})^{2}+(\frac{x\sqrt{5}}{2})^{2}-2 \cdot (\frac{x\sqrt{5}}{2}) \cdot (\frac{x\sqrt{5}}{2}) \cdot cos \beta \\\\ \frac{2x^{2}}{4} = \frac{5x^{2}}{4}+\frac{5x^{2}}{4}-\frac{10x^{2}cos\beta}{4} \\\\ \frac{10x^{2}cos\beta}{4} = \frac{10x^{2}-2x^{2}}{4} \\\\ \frac{10\not x^{2}cos\beta}{\not 4} = \frac{8\not x^{2}}{\not 4} \\\\ cos\beta = \frac{8}{10} \\\\ \boxed{cos\beta = \frac{4}{5}}$


Pela relação fundamental:

$sen^{2}\beta+cos^{2}\beta = 1 \\\\ sen^{2}\beta+(\frac{4}{5})^{2} = 1 \\\\ sen^{2}\beta = 1-\frac{16}{25} \\\\ sen^{2}\beta = \frac{25-16}{25} \\\\ sen^{2}\beta = \frac{9}{25} \\\\ sen\beta = \sqrt{\frac{9}{25}} \\\\ \boxed{\boxed{sen\beta = \frac{3}{5}}}$