Question

(ITA) Seja a > 0 o primeiro termo de uma progressão aritmética crescente de razão r e também de uma progressão geométrica de razão q = (2r√3)/3a. A relação entre a e r para que o terceito termo da progressão geométrica coincida com a soma dos 3 primeiros da progressão aritmética é:

a) r = 3a
b) r = 2a
c) r = a
d) r = √2a
e)n.d.a.

GABARITO LETRA A

Answer 1

Olá Maíra,

$\Rightarrow$P.A:
$a1=a\\ r=r$

$P.A(a,a+r,a+2r)$

$\Rightarrow$P.G:
$a1=a$
$q=\frac{\frac{2r \sqrt{3} }{3}}{a}= \frac{2r \sqrt{3} }{3a}$
$a3=\frac{2r \sqrt{3} }{3}*\frac{2r \sqrt{3} }{3a}=\frac{12r^2 }{9a}$

$P.G(a, \frac{2r \sqrt{3} }{3},\frac{12r^2 }{9a})$

$\Rightarrow$A relação entre a e r para que o terceiro termo da progressão geométrica coincida com a soma dos 3 primeiros da progressão aritmética é: 

$\frac{12r^2 }{9a}=a + a + r + a + 2r$

$\frac{12r^2 }{9a}=3a+3r$

$12r^2=9a*(3a+3r)$

$12r^2=27a^2+27ar$

$12r^2-27ar-27a^2=0$

Como nas alternativas r está em função de a, pensamos numa equação do 2º com os coeficientes a seguir:

a=12
b=-27a
c=-27a²

Δ = b² - 4.a.c 
Δ = (-27a)² - (4 . 12 . -27a²) 
Δ = 729a² - (4. 12 . -27a²) 
Δ = 2025a²

r'= (-b +- √Δ)/2a
r' = (27a+45a) /24
r'=72a/24
r'=3a

r'' = (27 - 45a)/24
r''=-18a/24
r''=-3a/4

Como a>0 e r>0 o único valor possível é r=3a.

a) r = 3a

Answer 2

primeiro termo da PA e da PG: a
razão da PA: r
razão da PG: q = 2√3r
                             3a
Terceiro termo da PG:
a₃ = a.(2√3r)² =  4a.3r² =  4r²
           (3a)²          9a²       3a
Terceiro termo da PA:
a₃ = a + (3 - 1)r
a₃ = a + 2r
Soma dos 3 primeiros termos da PA:
S₃ =  (a + a + 2r).3
                2
 S₃ =  3.2(a + r) = 3(a + r)
                 2        
E da questão temos que:
S₃ = a₃
3(a + r) =  4r²
                3a
9a(a + r) = 4r²
4r² - 9a² - 9ar = 0
Divida tudo por a²:
4r²  - 9a²  - 9ar  = 0
 a²      a²      a²
4r² - 9r  - 9 = 0
a²     a
A solução desta equação nos dará a relação entre r e a:
a = 4, b = - 9, c = - 9
Δ = b² - 4ac
Δ = (- 9)² - 4.4.(- 9) = 81 + 144 = 225
x₁ =  - b + √Δ
           2a
x₁ =  - (- 9) + √225 =  9 + 15 =  24 = 3
            2.4                    8           8
x₂ =  - b - √Δ
            2a
x₂ =  - (- 9) - √225 =  9 - 15 =  -6  = - 3
           2.4                  8            8      4
O ultimo valor é impossível pois: a > 0 e r > 0, logo:
r   > 0
 a 
Assim:
 r  = 3
a
r = 3a
Letra A