Question

Questão Halliday-Física
Uma força de 12N E ORIENTAÇÃO FIXA realiza trabalho sobre uma partícula que sofre um deslocamento d=(2i -4j+3k) m. Qual é o ângulo entre a força e o deslocamento se a variação da energia cinética da partícula é 30J?

Answer 1

Seja $\mathsf{\vec{u}}$ um vetor tridimensional de coordenadas $\mathsf{(\underbrace{\alpha}_{x}, \ \underbrace{\beta}_{y}, \ \underbrace{\gamma}_{z})}$. O seu módulo (distância à origem das coordenadas tridimensionais) é $\mathsf{\hookrightarrow}$

$\mathsf{|u| \ = \ \sqrt{\alpha^2 \ + \beta^2 \ + \gamma^2}}$

$\mathsf{\tau \ = \ F \ \cdot \ \Delta S \ \cdot \ \cos(\theta) \ \rightarrow}$

$\mathsf{\bullet \ \tau \ \rightarrow}$ Trabalho mecânico;

$\mathsf{\bullet \ \F \ \rightarrow}$ Força;

$\mathsf{\bullet \ \Delta S \ \rightarrow}$ Deslocamento.

$\mathsf{\bullet \ \theta \ \rightarrow}$ Ângulo entre a força e o deslocamento.

$\boxed{\mathsf{\tau_r \ = \ \Delta Ec}}$

(Teorema da energia cinética :  trabalho resultante $\mathsf{\tau_r}$ é igual à variação de energia cinética $\mathsf{\Delta Ec}$)

$\mathsf{\Delta S \ \Rrightarrow}$

É o vetor tridimensional $\mathsf{\vec{d} \ = \ (2, \ -4, \ 3)}$, de distância em metros e de módulo (distância à origem das coordenadas tridimensionais) $\mathsf{\rightsquigarrow}$

$\mathsf{{|d| \ = \ \sqrt{\underbrace{2^2}_{vetor \ i \ (em\ x)} \ + \ \underbrace{-4^2}_{vetor \ j \ (em \ y)} \ + \ \underbrace{3^2}_{vetor \ k \ (em \ z)}}} \ \rightarrow}$

$\mathsf{|d| \ = \ \sqrt{4 \ + \ 16 \ + 9} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{|d| \ = \ \sqrt{29} \ \underbrace{\mathsf{m}}_{dimens\~ao \ do \ vetor}}$

O deslocamento é justamente este módulo :

$\mathsf{\Delta S \ = \ |d| \ \rightarrow} \\ \\ \boxed{\mathsf{\Delta S \ = \ \sqrt{29} \ m}}$


Seja $\mathsf{F \ = \ 12 \ N}$ a resultante que realiza trabalho na partícula... temos então :

$\mathsf{\tau_r \ = \ \Delta Ec \ \rightarrow} \\ \\ \\ \mathsf{\underbrace{\mathsf{12}}_{for\c{c}a \ resultante \ ([N])} \ \cdot \ \underbrace{\mathsf{\sqrt{29}}}_{\Delta S \ ([m])} \ \cdot \ \cos(\theta) \ = \ \underbrace{\mathsf{30}}_{\Delta Ec \ ([J])} \ \rightarrow}$

$\mathsf{\cos(\theta) \ = \ \dfrac{30}{12 \ \cdot \ \sqrt{29}} \ \rightarrow} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{\theta \ = \ \arccos\bigg(\dfrac{5}{2 \ \cdot \ \sqrt{29}}\bigg)}}} \mathsf{\ \Rightarrow \ 0 \ \textless \ \theta \ \textless \ \frac{\pi}{2} \ (devido \ \`a \ imagem \ de \ arccos)}$

Answer 2

Resolução  

M =   f    =    12    =   1,22 kg  

        g          9,8  

30 j  =         30 kg * m2/s2  =       k = ½ mv2   =    ½ 1,22 * (4,95)2 = 30 j  

12 N  

d( 2,0 î    - 4,0^j + 3,0 ^k )±  

Fx  =  m.ax “y”   m.ax = 1,22* 4,95  =  6,03  

W   =  fx.d  

W = 6,03 *2,0 = 12,06î  

W= 6,3 *-4,0 = -24,12^j  

a)  Tan-1   y      =            -24,12     =   -7,3°      

                      X                   12,06  

b) Tan-1   y      =            24,12     =   -7,3°      

                      X                 -12,06