Uma tartaruga se arrasta em uma linha reta, a qual chamaremos de eixo Ox com direção positiva para a direita. A equação para a posição da tartaruga em função do tempo x (t) = 50,0 cm + 2,0t - 0,0625t², onde t é dado em segundos e X em cm.
A) Determine a velocidade inicial, a posição inicial e a aceleração inicial da tartaruga.
B) Em qual instante t a velocidade da tartaruga é zero?
C) Quanto tempo do ponto inicial a tartaruga leva para retornar ao ponto de partida?
D) Em qual instante t a tartaruga está a uma distância de 10,0cm do ponto inicial?
E) Qual é a velocidade da tartaruga em cada um desses instantes?
Respostas
Primeiro, analisando a equação da posição da tartaruga, percebe-se uma equação do tipo ax²+bx+c, onde a é aceleração, b a velocidade inicial, e c a posição inicial. Partindo desse raciocínio, vamos as respostas.
(a) Vo= 2cm/s ; Xo= 50cm ; a= -0,125cm/s²
(b) Derivando, o polinômio X(t) temos que: V(t)=2at+b. Sendo V(t) igual a zero:
⇒0 = 2(-0,0625t) + 2
⇒ -2 = -0,125t
∴ t = 16 segundos
(c) Lembrando que a tartaruga parte de 50cm, temos que
⇒50=50 + 2t - 0,0625t²
⇒ 0 = 2t - 0,0625t²
⇒ 0 = t(2-0,0625t)
∴ t = 0 ou t = 32
logo, a tartaruga retornará ao ponto inicial em 32 segundos
(d) Lembrando que a tartaruga parte de 50cm, temos que
⇒ 60 = 50+2t-0,0625t²
⇒ 0 = -10+2t-0,0625t²
Resolvendo na formula de Bhaskara
Δ= 4 - 4.-0,0625.-10
∴ Δ=1,5
Logo
t¹= -2 + √1,5 /-0,125 ∴ t¹ = 6,24segundos
t² = -2 - √1,5 /-0,125 ∴ t² = 25,76segundos
→ Calculando a velocidade instantânea para T¹ e para T²
⇒V(t¹)= 2.at + b
⇒V(t¹)= 2.-0.0625.6,24 + 2
∴V(t¹)= 1,22cm/s
⇒V(t²)=2.at+b
⇒V(t²)=2.0,0625.25,76 + 2
∴V(t²)= -1,22cm/s
Espero ter ajudado! (:
Trata-se de uma questão sobre MUV - Movimento Uniformemente Variável, ou seja, um corpo se desloca determinada distância com uma velocidade que sofre alteração devido a aceleração externa.
Resposta da A)
O enunciado no diz que a equação horária da posição da tartaruga é:
S = 50 + 2t - 0,0625 * t²
Sabemos que a fórmula original é:
S = S0 + vt + at²/2
Portanto, no caso da tartaruga temos:
- S0 = 50 cm
- V0 = 2 cm/s
- at²/2 = - 0,0625t² >> a = - 0,125 cm/s²
Note que é importante prestar atenção nas unidades de medida que estão sendo utilizadas e verificar se o exercício demanda que seja feita alguma conversão.
Assim, temos como respostas:
Velocidade inicial da tartaruga: 2 cm/s
Aceleração inicial da tartaruga: -0,125 cm/² (ou seja, por ser negativo significa que ela está encontrando uma resistência ao seu movimento).
Resposta da B)
Para saber em qual instante t a velocidade da tartaruga é zero basta utilizarmos a seguinte equação:
V = V0 + at
0 = 2 + (-0,125) * t
2 - 0,125t = 0
0,125t = 2
t = 16
A velocidade da tartaruga é zero no instante 16 segundos
Resposta da C)
Vamos usar a equação horária da posição:
S = 50 + 2t - 0,0625 * t²
50 = 50 + 2t - 0,0625 * t²
- 0,0625 t² + t = 0
t (2 - 0,0625t) = 0
t = 0 ou t = 32
A tartaruga leva 32 segundos para retornar ao ponto de partida (visto que ela estará naquela mesma posição nos tempos 0 e 32).
Resposta da D)
Mais uma vez vamos utilizar a equação horária da posição:
S = 50 + 2t - 0,0625 * t²
Porém, os 10 cm que ele nos pede não são o Sf, mas sim o ΔS. Portanto:
ΔS = S - S0
10 = S - 50
S = 60
Voltando à fórmula principal:
60 = 50 + 2t - 0,0625 t²
-0,0625t² + 2t - 10 = 0
Agora basta resolver como uma equação comum de 2º grau. Vamos aplicar Bhaskara:
Δ= 4 - 4 * (-0,0625) * (-10)
Δ = 1,5
Logo
t1= -2 + √1,5 /-0,125 ∴ t1 = 6,24 segundos
t2 = -2 - √1,5 /-0,125 ∴ t2 = 25,76 segundos
Em dois momentos: Em 6,24 segundos (na ida) e em 25,76 (no retorno)
Resposta da E)
Ele nos pede a velocidade da tartaruga em t1 e em t2
V = V0 + at
V = 2 - 0,0625 * t
>> V1 = 2 - 0,0625 * 6,24
V1 = 1,61 cm/s
>> V2 = 2 - 0,0625 * 25,76
V2 = 0,39 cm/s
A velocidade da tartaruga em cada um desses instantes é 1,61 cm/s e 0,39 cm/s.
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