Question

para quais valores reais de M o ponto P(m,2m-1) pertence ao 3º quadrante?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Ivanilson, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se isto:

Para quais valores reais de M o ponto P(m; 2m-1) pertence ao 3º quadrante?

ii) Veja como é fácil. No 3º quadrante dos eixos cartesianos tanto a abscissa como a ordenada são negativas. Então deveremos impor que a abscissa "m", bem como a ordenada "2m-1" sejam negativas (<0). Assim, fazendo isso, teremos:

m < 0 ---- Esta é uma condição para "m".
e
2m - 1 < 0
2m < 1
m < 1/2 ---- Esta é outra condição para "m".

iii) Assim, vimos que "m" terá que ser menor do que zero e "m" também terá que ser menor que "1/2".
Ora, mas sendo "m" menor do que zero e esse mesmo "m" menor do que "1/2", então prevalece a hipótese de ele ser menor do que zero, pois sendo "m" menor do que zero já o será menor do que "1/2". Logo, a resposta será:

m < 0  ---- Esta é a resposta. Ou seja, para que o ponto P(m; 2m-1) seja do terceiro quadrante dos eixos cartesianos, então "m" deverá ser menor do que zero.

iv) Note que se você quiser, você poderá fazer pela intersecção entre o que vale para m < 0 e para m < 1/2. A resposta será a intersecção entre o que vale para cada hipótese. Vamos marcar o que vale para cada hipótese com o símbolo /////// . E vamos marcar a intersecção entre as duas hipóteses com o símbolo |||||||. Veja:

m < 0 ................ / / / / / / / / / / / /  (0) ________________________________
m < 1/2............. / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /  (1/2) __________________
Intersecção..... | | | | | | | | | | | | | | (0) _________________________________

Veja que a intersecção ficou, realmente, em m < 0, que é a mesma conclusão a que chegamos na nossa resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.