Question

Determine o valor de x para que o ponto LaTeX: A=(x,\text{ }2,-2x )A=(x, 2,−2x) diste LaTeX: \sqrt{6}6 unidades do ponto LaTeX: B=(2,1,0 )B=(2,1,0).

Answer 1

Olá

Dado dois pontos $A=(x_a,y_a,z_a)$ e $B = (x_b,y_b,z_b)$, temos que a distância entre os pontos A e B é dada pela fórmula $d(A,B) = \sqrt{(x_b-x_a)^{2}+(y_b-y_a)^{2}+(z_b-z_a)^{2}}$

Daí, utilizando a fórmula, temos que:

$\sqrt{(2-x)^{2}+(1-2)^{2}+(0-(-2x))^{2}} = \sqrt{6}$

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos que:

$(2-x)^{2}+(-1)^{2}+(2x)^{2}=6$
$4 - 4x + x^{2} + 1 + 4x^{2} = 6$
$5x^{2}-4x-1=0$

Aplicando Bháskara, temos que:

$x = \frac{-(-4)+- \sqrt{(-4)^{2}-4.5.(-1)} }{2.5}$
$x = \frac{4 +- \sqrt{16+20} }{10}$
$x = \frac{4+- \sqrt{36} } }{10}$
$x = \frac{4+-6}{10}$

$x' = \frac{4+6}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$x" = \frac{4-6}{10} = \frac{-2}{10} = \frac{-1}{5}$

Portanto os valores de x são $x = 1$ ou $x = \frac{-1}{5}$