Question

observe a expressão a seguir
(pelo amor de Deus me ajudem kkk)

Answer 1

Use propriedades das potências e raízes:
$\boxed{\frac{ \sqrt[5]{256} *\sqrt8 }{ \sqrt[10]{2} }=\frac{ \sqrt[5]{2^8} * \sqrt{2^3} }{ \sqrt[10]{2} }=\frac{2^{\frac{8}{5}}*2^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{1}{10}}}=2^{\frac{8}{5}+\frac{3}{2}-\frac{1}{10}}=2^3=8}$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Roanny, que a resolução é mais simples do que se pensa.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para dar o valor numérico da seguinte expressão, que vamos chamar de certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = [⁵√(256) * √(8)] / [¹⁰√(2)]

Note que temos dois métodos principais para resolver questões desse gênero. Vamos ver esses dois métodos principais.

i.1) Primeiro método: transformamos os radicais em potências, valendo lembrar que: ⁿ√(a) = a¹/ⁿ . Assim, vamos tomar a nossa expressão "y" acima e vamos transformá-la em potências, ficando:

y = [256¹/⁵ * 8¹/²] / [2¹/¹⁰] ---- note que 256 = 2⁸ ; e 8 = 2³. Assim, substituindo, teremos:

y = [(2⁸)¹/⁵ * (2³)¹/²] / [2¹/¹⁰] ---- desenvolvendo, teremos:
y = [2⁸*¹/⁵ * 2³*¹/²] / [2¹/¹⁰] --- continuando o desenvolvimento, temos:
y = [2⁸/⁵ * 2³/²] / [ 2¹/¹⁰] ---- veja que, no numerador, temos uma multiplicação de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e somam-se os expoentes. Logo:

y = (2⁸/⁵⁺³/²) / (2¹/¹⁰)

Note que: 8/5+3/2 = (2*8+5*3)/10 = (16+15)/10 = 31/10. Assim, substituindo, teremos:

y = (2³¹/¹⁰) / (2¹/¹⁰) ---- Agora veja que temos uma divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Então iremos ter:

y = 2³¹/¹⁰⁻¹/¹⁰ ---- veja que 31/10-1/10 = (31-1)/10 = 30/10. Logo:
y = 2³⁰/¹⁰ ---- ora, mas 30/10 = 3. Então:
y = 2³ ----- e, como 2³ = 8, teremos:
y = 8 <--- Esta é a resposta. Opção "D".

i.2) Segundo método: encontrar o mmc dos índices das raízes que têm índices diferentes, já que não podemos operacionalizar com radicais de índices diferentes. Veja que a expressão é esta:

y = [⁵√(256) * √(8)] / [¹⁰√(2)]

Agora veja: no numerador, vamos encontrar o mmc entre os índices "5" (da raiz quinta) e "2" (da raiz quadrada). Como você deve saber, o mmc entre "5" e "2" é "10". Então faremos o seguinte: colocaremos índice "10" em cada um dos radicais do numerador e dividimos esse índice "10" pelo índice anterior e o resultado colocamos como expoente do radicando. Fazendo isso, teremos:

y = [¹⁰√(256²) * ¹⁰√(8⁵)] / [¹⁰√(2)]

Agora note que, no numerador, já poderemos operacionalizar os radicais, pois os índices são iguais. Então, teremos isto:

y = ¹⁰√(256² * 8⁵) / ¹⁰√(2) ---- veja que 256 = 2⁸; e 8 = 2³. Assim, substituindo, teremos:

y = ¹⁰√(2⁸)² * (2³)⁵) / ¹⁰√(2) ---- desenvolvendo, temos:
y = ¹⁰√(2⁸*² * 2³*⁵) / ¹⁰√(2)
y = ¹⁰√(2¹⁶ * 2¹⁵) / ¹⁰√(2) ---- veja que, no numerador, temos uma multiplicação de potências da mesma base, cuja regra é: conserva-se a base comum e somam-se os expoentes. Logo:

y = ¹⁰√(2¹⁶⁺¹⁵) / ¹⁰√(2) ---- desenvolvendo, temos;
y = ¹⁰√(2³¹) / ¹⁰√(2) ---- note que ⁿ√(a) / ⁿ√(b) = ⁿ√(a/b). Então, a nossa expressão "y" ficará sendo esta:

y = ¹⁰√(2³¹ / 2) --- note que o "2" que está sem expoente tem, na realidade, expoente igual a "1". Apenas não se coloca. Mas é como se fosse assim:

y = ¹⁰√(2³¹ / 2¹) ---- agora temos, no radicando, uma divisão de potências da mesma base, cuja regra é esta: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Assim, teremos:

y = ¹⁰√(2³¹⁻¹) ---- desenvolvendo, ficamos com:
y = ¹⁰√(2³⁰) ---- note que 2³⁰, pelas propriedades da multiplicação de potências da mesma base, poderá ser escrito assim: 2³⁰ = 2¹⁰ * 2¹⁰ * 2¹⁰. Então vamos substituir, ficando:

y = ¹⁰√(2¹⁰*2¹⁰*2¹⁰) ---- agora veja: como cada "2" está elevado ao expoente "10", então cada um deles sairá de dentro da raiz décima (ou raiz índice 10). Assim, teremos:

y = 2*2*2
y = 8 <--- Veja que a resposta é a mesma.

Ou seja, como você viu, não interessa qual a método a ser utilizado para resolver a questão proposta. O que é importante é que o método seja o correto.

Finalmente, veja que a resolução ficou longa porque tentamos fazer tudo passo a passo e, além disso, por intermédio de dois métodos diferentes de resolução.

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.