Question

achar o termo em x^4 no desenvolvimento (x+1/x)^8

Answer 1

$( \frac{x+1}{x} )^{2} = \frac{ (x+1)^{2} }{ x^{2} } = \frac{(x+1).(x+1)}{ x^{2} }= \frac{ x^{2} +2x+1}{ x^{2} } \\ \\ nao-vejo-outra-forma-de-resolver$

Answer 2

O desenvolvimento da $n$-ésima potência de um binômio $\left(a+b \right )$ é dada pela fórmula

$\boxed{\left(a+b \right )^{n}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}\,a^{k}\,b^{n-k}}}$

onde $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k! \cdot \left(n-k \right )!}$


Para o binômio a questão temos:

$a=x\\ \\ b=\frac{1}{x}\\ \\ n=8$

Logo

$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{8}=\sum_{k=0}^{8}{\binom{8}{k}\,x^{k}\,\left(\frac{1}{x} \right )^{8-k}}$


Encontrando o valor de $k$ para o termo em $x^{4$:

$x^{k} \, \left(\frac{1}{x} \right )^{8-k}=x^{4}\\ \\ x^{k}\cdot \frac{1}{x^{8-k}}=x^{4}\\ \\ \frac{x^{k}}{x^{8-k}}=x^{4}\\ \\ x^{k-\left(8-k \right )}=x^{4}\\ \\ x^{k-8+k}=x^{4}\\ \\ x^{2k-8}=x^{4}\\ \\ 2k-8=4\\ \\ 2k=4+8\\ \\ 2k=12\\ \\ k=\frac{12}{2} \Rightarrow \boxed{k=6}$


Encontrando o coeficiente do termo em $x^{4$:

Para $k=6$, o coeficiente é

$\binom{8}{6}=\frac{8!}{6! \cdot \left(8-6 \right )!}\\ \\ =\frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 2!}\\ \\ =\frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1}\\ \\ =\boxed{28}$


Logo, o termo em $x^{4}$ é o sétimo termo $(k=6)$, e é igual a $28x^{4}$.