Question

Um ponto P (x,0) é equidistante dos pontos A( -1,2) e B (1,4). Calcule o valor de x.

Answer 1

Distância entre dois pontos:

$\boxed{d = \sqrt{(X_{f}-X_{i})^{2}+(Y_{f}-Y_{i})^{2}}}$

Um ponto equidistante de outros dois pontos significa que a distância dele para os outros é igual, ou seja, o valor é o mesmo.

$\sqrt{(X_{p}-X_{a})^{2}+(Y_{p}-Y_{a})^{2}} = \sqrt{(X_{p}-X_{b})^{2}+(Y_{p}-Y_{b})^{2}} \\\\ \sqrt{(x-(-1))^{2}+(0-2)^{2}} = \sqrt{(x-1)^{2}+(0-4)^{2}} \\\\ \sqrt{(x+1)^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{(x-1)^{2}+(-4)^{2}} \\\\ (\sqrt{(x+1)^{2}+4})^{2} = (\sqrt{(x-1)^{2}+16})^{2} \\\\ (x+1)^{2}+4 = (x-1)^{2}+16 \\\\ \not x^{2}+2x+1+4 = \not x^{2}-2x+1+16 \\\\ 2x+2x = 17-5 \\\\ 4x = 12 \\\\ x = \frac{12}{4} \\\\ \boxed{x = 3}$

O ponto é:
P(3,0)

Answer 2

O ponto $P$ tem ordenada $y$ igual a zero. Então, este ponto pertence ao eixo $x$.

Se o ponto $P$ é equidistante dos pontos $A\left(-1,2\right )$ e $B\left(1,4\right )$, então este ponto pertence à reta mediatriz do segmento $\overline{AB}$ (Veja figura anexa: todos os pontos da reta mediatriz em vermelho são equidistantes do ponto $A$ e $B$).

Logo, o ponto $P$ é a intersecção da reta mediatriz do segmento $\overline{AB}$ com o eixo $x$ (fazendo $y=0$ na equação da mediatriz).


encontrar a equação da reta mediatriz do segmento $\overline{AB}$:

A reta mediatriz do segmento $\overline{AB}$ é a reta ortogonal a este segmento, e que passa pelo ponto médio $M\left(x_{M},y_{M} \right )$ deste segmento.


As coordenadas do ponto médio $M$ são dadas por

$x_{M}=\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}\\ \\ x_{M}=\dfrac{-1+1}{2} \Rightarrow x_{M}=0\\ \\ \\ y_{M}=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\\ \\ y_{M}=\dfrac{2+4}{2} \Rightarrow y_{M}=3$


Logo, o ponto médio do segmento $\overline{AB}$ é $M\left(0,3 \right )$


O coeficiente angular $m$ da reta que contém os pontos $A$ e $B$ (ou do segmento $\overline{AB}$) é dado por

$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\\ \\ m=\dfrac{4-2}{1-\left(-1 \right )}\\ \\ m=\dfrac{2}{2}\\ \\ m=1$


Como a reta mediatriz é ortogonal à reta que contém os pontos $A$ e $B$, o coeficiente angular $m_{\perp}$ da mediatriz é o inverso negativo do coeficiente angular do segmento $\overline{AB}$, ou seja

$m_{\perp}=-\dfrac{1}{m}\\ \\ m_{\perp}=-\dfrac{1}{1}\\ \\ m_{\perp}=-1$


A reta mediatriz é uma reta com coeficiente angular $m_{\perp}=-1$, que passa pelo ponto médio $M\left(0,3 \right )$. Assim, a equação da reta mediatriz é dada por

$y-y_{M}=m_{\perp}\cdot \left(x-x_{M}\right)\\ \\ y-3=-1 \cdot \left(x-0 \right )\\ \\ y-3=-x\\ \\ y=-x+3$


O ponto $P$ pertence à esta reta mediatriz. Logo, suas coordenadas devem satisfazer esta equação. Então, fazendo $y=0$, temos

$0=-x+3\\ \\ \boxed{x=3}$

Este é o valor da abscissa do ponto $P\left(3,0 \right )$.