Question

Prove que , para todo numero  n >= 1 , o numero  a.n = 4^n-1/3 é inteiro e ímpar .

 

$<var>a_{n}\geq1\ ;\ a_{n}=\frac{4^n-1}{3} </var>$ 

 

a) coloque as equações que provem o enunciado;

b) o seu comentário sobre o teorema.

 

 

 

 

 

Answer 1

tentei muitoo dificil cara...

Answer 2

Resposta:

Utilizar pricipio da indução infinita (PIF)

Explicação passo-a-passo:

Para n=1

$a_1=\frac{4^1 -1}{3}=1$

α₁ é inteiro e ímpar.

Hipótese: $a_k=\frac{4^k-1}{3}=2 \cdot p+1$   com $p\in \mathbb{Z}$

Tese: $a_{k+1}=\frac{4^{k+1}-1}{3}$ é inteiro e ímpar $\forall \ k \in \mathbb{N}^*$

$a_{k+1}=\frac{4^{k+1}-1}{3}=\frac{4^k \cdot 4-1}{3}=\frac{4^k\cdot4}{3}-\frac{1}{3}=\frac{4^k\cdot4}{3}-\left(\frac{4}{3}-\frac{3}{3}\right)=\frac{4^k\cdot4}{3}-\frac{4}{3}+\frac{3}{3}=\frac{4^k\cdot 4-4}{3}+1=\frac{4 \cdot \left(4^k-1\right)}{3}+1=4 \cdot \left(2 \cdot p+1\right)+1$

Como $p\in \mathbb{Z}, a_{k+1}$ é sempre inteiro e ímpar.