Question

(EFOMM) O valor numérico da expressão $\frac{cos \frac{44pi}{3} - sec2400 + tg( \frac{-33pi}{4}) }{ cossec^{2}(-780) }$

RESPOSTA: 3/8

Answer 1

Oi Maíra,

Vou separar cada um dos termos da expressão para facilitar o entendimento ok?
Começaremos no primeiro termo do numerador:
$cos \frac{44\pi}{3}$

De fato, sabemos que esse é um arco com mais de uma volta. Por isso, devemos achar a sua determinação principal, isto é, o valor do arco que "sobra" após completar todas as voltas completas:
$\frac{44\pi}{3}= \frac{42\pi}{3}+ \frac{2\pi}{3}=14\pi+ \frac{2\pi}{3}$

Veja que esse arco possui 7 voltas completas (pois uma volta inteira é 2π, logo, 14π/2π = 7), e excede 2π/3 no ciclo trigonométrico. Esse é justamente o valor de sua determinação principal. Vamos ver quanto vale em graus:
$\pi = 180 \\ \frac{2\pi}{3}=x \\ \\ \pi x = \frac{360\pi}{3} \\ \\ \pi x = 120\pi \\ \\ x = 120\º$

Logo, esse arco equivale a um arco de 120º. Como é uma questão de vestibular, não teremos uma calculadora para descobrir seu cosseno imediatamente. Então, precisamos recorrer à redução ao primeiro quadrante. O arco de 120º, localizado no segundo quadrante é côngruo com o arco de 60º do primeiro quadrante, que por sinal é um arco notável, com cosseno igual a 1/2. Contudo, o valor de cosseno no segundo quadrante é negativo. Sendo assim, podemos concluir que:
$cos \frac{44\pi}{3}=-cos60=\boxed{ -\frac{1}{2}}$

Continuando, vamos estudar o segundo termo do numerador:
$-sec2400$

Trata-se de um arco com mais de uma volta também. Primeiro, assim como anteriormente, vamos descobrir quantas voltas ele possui e quanto excede:
$2400\º=2160\º+240\º$

Veja que 2160º é divisível por 360º (uma volta completa). Logo, esse arco tem 6 voltas inteiras e 240º. Reduzindo ao primeiro quadrante, novamente encontramos o arco de 60º como côngruo. Logo, tendo em mente que a secante é o inverso do cosseno, e que o valor de cosseno no terceiro quadrante é negativo, podemos admitir que:
$-sec2400 = - \frac{1}{-cos60}= -\frac{1}{-1/2} = -(-2)=\boxed{2}$

O terceiro e último termo do numerador é:
$tg (-\frac{33\pi}{4})$

Vamos descobrir a sua determinação principal:
$\frac{33\pi}{4}= \frac{32\pi}{4}+ \frac{\pi}{4}= 8\pi+ \frac{\pi}{4}$

Como ele é um arco negativo, devemos subtrair a determinação principal de 2π, pois os arcos negativos seguem o sentido horário no ciclo trigonométrico:
$2\pi- \frac{\pi}{4}= \frac{8\pi-\pi}{4}= \frac{7\pi}{4}$

Logo, a determinação principal do arco é 7π\4, que, ao transformar em graus, obtemos 315, um arco do 4º quadrante. Reduzindo ele para o primeiro, encontramos um arco côngruo de 45º, que tem como tangente o valor 1. Entretanto, a tangente no quarto quadrante é negativa. Desse modo, podemos concluir que:
$tg(- \frac{33\pi}{4}=tg315=-tg45= \boxed{-1}$

No denominador temos apenas um termo:
$cossec^2(-780)$

Assim como todos os outros, é um arco com mais de uma volta, então vamos descobrir sua determinação:
$780\º=720\º+60\º$

Como é um arco negativo, devemos subtrair o excesso de 360º:
$360\º-60\º=300\º$

Portanto, a determinação principal do arco é 300º, um arco do quarto quadrante. A função cossecante é o inverso do seno, e reduzindo o arco para o primeiro quadrante, encontramos um côngruo de 60º, que tem como seno √3/2. Todavia, o seno no quarto quadrante é negativo. Logo, podemos calcular:
$cossec^2(-780)= (\frac{1}{-sen60})^2= (\frac{1}{- \sqrt{3}/2 })^2 = (\frac{2}{ \sqrt{3} })^2 = \boxed{\frac{4}{3} }$

Como já encontramos os valores de todos os termos separados, agora podemos substituir os valores na equação:
$\frac{-0,5+2-1}{4/3 } = \frac{1/2 }{4/3}= \frac{1}{2}* \frac{3}{4}= \boxed{\boxed{\frac{3}{8}} }$

Desculpe pela extensão da resposta, tentei explicar os detalhes no máximo possível.

Bons estudos!