Question

Estou com dificuldade na resolução desta equação com fração. Como faz muito tempo que não resolvo, não consigo identificar em que parte estou errando.

1 / x-1 + 1 / y+1 = 5

Answer 1

Resolver o sistema

$\left\{ \begin{array}{c} \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{y+1}=5\\ \\ \dfrac{2}{x-1}+\dfrac{3}{y+1}=12 \end{array} \right.$


Para esse sistema, vamos fazer uma troca de variáveis: Fazendo a seguinte troca

$v=\dfrac{1}{x-1}\\ \\ w=\dfrac{1}{y+1}$

temos que resolver este sistema:


$\left\{ \begin{array}{c} v+w=5\\ \\ 2v+3w=12 \end{array} \right.$


Isolando $v$ na primeira equação e substituindo na segunda:


$v=5-w \\ \\ \\ 2 \cdot \left(5-w \right )+3w=12\\ \\ 10-2w+3w=12\\ \\ w=12-10\\ \\ w=2\\ \\ \\ v=5-w\\ \\ v=5-2\\ \\ v=3$


Voltando às variáveis originais $x$ e $y$:


$w=2 \Rightarrow \dfrac{1}{y+1}=2\\ \\ 2\cdot \left(y+1 \right )=1\\ \\ 2y+2=1\\ \\ 2y=1-2\\ \\ 2y=-1\\ \\ \boxed{y=-\dfrac{1}{2}}\\ \\ \\ v=3 \Rightarrow \dfrac{1}{x-1}=3\\ \\ 3 \cdot \left(x-1 \right )=1\\ \\ 3x-3=1\\ \\ 3x=1+3\\ \\ 3x=4\\ \\ \boxed{x=\dfrac{4}{3}}$


A solução é o par $\left( \dfrac{4}{3},\,-\dfrac{1}{2}\right)$.