Question

Uma pessoa ganha R$ 5.000,00 mensais, com rea-juste de 65% anual. Paga uma prestação de R$ 1.250,00 men¬sais com reajuste de 117,8% anual. Supondo fixos esses reajustes, em quanto tempo aproximadamente, o seu salário será exatamente o valor da prestação?
Dados: log 4 = 0,6 e log 1,32 = 0,12.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Thiago, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos encontrar a lei de formação de cada um dos aumentos anuais (no salário de R$ 5.000,00 e no reajuste da prestação).
O reajuste anual do salário é de 65% ou 0,65 ao ano; e o reajuste da prestação é de 117,8% ou 1,178 ao ano.
Então teremos a seguinte lei de formação no salário (R$ 5.000,00) e na prestação (R$ 1.250,00). Note que, como queremos o tempo em que o salário fica igual ao valor da prestação, então vamos igualá-los:

5.000*(1+0,65)ⁿ = 1.250*(1+1,178)ⁿ ---- desenvolvendo, teremos:
5.000*(1,65)ⁿ = 1.250*(2,178)ⁿ ---- vamos apenas inverter, ficando:
1.250*(2,178)ⁿ = 5.000*(1,65)ⁿ --- vamos isolar (2,178)ⁿ, ficando:
(2,178)ⁿ = 5.000*(1,65)ⁿ/1.250 --- note que 5.000/1.250 = 4. Assim, ficamos:
(2,178)ⁿ = 4*(1,65)ⁿ ---- agora vamos aplicar logaritmo (na base 10) a ambos os membros, ficando:

log (2,178)ⁿ = log (4*1,65ⁿ) --- note que, no 2º membro, poderemos transformar o produto em soma (é uma propriedade logarítmica). Logo:

log (2,178)ⁿ = log (4) + log (1,65)ⁿ --- vamos passar log (1,65)ⁿ para o 1º membro, ficando:

log (2,178)ⁿ - log (1,65)ⁿ = log (4) ---- no 1º membro vamos transformar a subtração em divisão (é outra propriedade logarítmica):

log (2,178/1,65)ⁿ = log (4) --- note que a divisão "2,178/1,65 = 1,32". Logo:
log (1,32)ⁿ = log (4) --- agora vamos passar o expoente "n" multiplicando (é outra propriedade logarítmica:

n*log (1,32) = log (4)

Veja que agora basta substituir log (1,32) por "0,12" e log (4) por "0,6".  Assim, fazendo isso, teremos:

n*0,12 = 0,6 ---- isolando "n", teremos:
n = 0,6/0,12 --- note que esta divisão dá exatamente igual a "5". Logo:
n = 5 anos <--- Esta é a resposta.  Ou seja, com 5 anos, o seu salário será exatamente igual ao valor da prestação.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.