Question

Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 3, 4,5, 6, 7}.
a) Quantas são as funções estritamente crescentes d
e A em B tais que f(3) = 4?
b) Quantas são as funções sobrejetivas de B em A?

Answer 1

a) Se a função é estritamente decrescente então $f(1)<f(2)<f(3)<f(4)<f(5)<f(6)$.

Dessa forma, se $f(3)=4$ teremos os seguintes casos:
Se f(1)=1, então f(2) = 2 ou 3
Se f(1) = 2 então f(2) = 3.
Totalizando 3 opções.

Se f(5) = 5, teremos 2 opções para f(6)
Se f(5) = 6, teremos uma opção para f(6).
Totalizando 3 opções.

Dessa forma o número de funções será 3 x 3 = 9.

b) Para função sobrejetiva teremos todos os números de A associados a um número de B. Dessa forma teremos dois números de A relacionados ao mesmo número em B.
Número em A que terá dois valores associados: 6 opções
O par de número de B que estará associado ao mesmo valor de A: $C_{7,2}=21$
A partir daí cada número de A terá apenas um número em B associado a ele.
Para o primeiro número: 5 opções
Segundo número: 4 opções
Terceiro número: 3 opções
Quarto número: 2 opções
Quinto número: 1 opção

N = 6 x 21 x 5! = 15120