Question

As tg 75(graus) e tg 15(graus) são, nessa ordem, iguais a:

Answer 1

Resposta:

    $\begin{cases}~\mathrm{tg}(75^\circ)=2+\sqrt{3}\qquad\checkmark\\~\mathrm{tg}(15^\circ)=2-\sqrt{3}\qquad\checkmark \end{cases}$

Explicação passo a passo:

Utilizaremos as identidades da tangente da soma e da diferença entre dois arcos:

    $\begin{cases}~\mathrm{tg}(\alpha+\beta)=\dfrac{\mathrm{tg}(\alpha)+\mathrm{tg}(\beta)}{1-\mathrm{tg}(\alpha)\cdot \mathrm{tg}(\beta)}\qquad\mathrm{(i)}\\\\ ~\mathrm{tg}(\alpha-\beta)=\dfrac{\mathrm{tg}(\alpha)-\mathrm{tg}(\beta)}{1+\mathrm{tg}(\alpha)\cdot \mathrm{tg}(\beta)}\qquad\mathrm{(ii)} \end{cases}$

Podemos escrever

    $\begin{cases}~75^\circ=45^\circ+30^\circ\\ ~15^\circ=45^\circ-30^\circ \end{cases}$

e aplicar as fórmulas (i) e (ii) com $\alpha=45^\circ$ e $\beta=30^\circ,$ cujos valores das tangentes são conhecidos, pois são arcos notáveis. Portanto,

    $\mathrm{tg}(75^\circ)=\mathrm{tg}(45^\circ+30^\circ)\\\\=\dfrac{\mathrm{tg}(45^\circ)+\mathrm{tg}(30^\circ)}{1-\mathrm{tg}(45^\circ)\cdot \mathrm{tg}(30^\circ)}\\\\\\ =\dfrac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}\\\\\\ =\dfrac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}$

Multiplique o numerador e o denominador por 3, para simplificar os cálculos:

    $=\dfrac{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})\cdot 3}{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})\cdot 3}\\\\\\ =\dfrac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$

Para racionalizar o denominador, multiplique o numerador e o denominador por $3+\sqrt{3}:$

    $=\dfrac{(3+\sqrt{3})\cdot (3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})\cdot (3+\sqrt{3})}\\\\\\ =\dfrac{(3+\sqrt{3})^2}{(3-\sqrt{3})\cdot (3+\sqrt{3})}$

Expanda o quadrado da soma no numerador, e o produto da diferença pela soma no denominador (ver produtos notáveis):

    $=\dfrac{3^2+2\cdot 3\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}{3^2-(\sqrt{3})^2}\\\\\\=\dfrac{9+6\sqrt{3}+3}{9-3}\\\\\\ =\dfrac{12+6\sqrt{3}}{6}$

    $=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 6\cdot (2+\sqrt{3})}{\diagup\!\!\!\! 6}$

    $\therefore~~\mathrm{tg}(75^\circ)=2+\sqrt{3}\qquad\checkmark$

De forma análoga, calculamos $\mathrm{tg}(15^\circ),$ e obtemos

    $\mathrm{tg}(15^\circ)=\mathrm{tg}(45^\circ-30^\circ)\\\\=\dfrac{\mathrm{tg}(45^\circ)-\mathrm{tg}(30^\circ)}{1+\mathrm{tg}(45^\circ)\cdot \mathrm{tg}(30^\circ)}\\\\\\ =\dfrac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}\\\\\\ =\dfrac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}$

    $=\dfrac{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})\cdot 3}{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})\cdot 3}\\\\\\ =\dfrac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$

Para racionalizar o denominador, multiplique o numerador e o denominador por $3-\sqrt{3}:$

    $=\dfrac{(3-\sqrt{3})\cdot (3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})\cdot (3-\sqrt{3})}\\\\\\ =\dfrac{(3-\sqrt{3})^2}{(3+\sqrt{3})\cdot (3-\sqrt{3})}\\\\\\ =\dfrac{3^2-2\cdot 3\cdot \sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}{3^2-(\sqrt{3})^2}\\\\\\ =\dfrac{9-6\sqrt{3}+3}{9-3}\\\\\\ =\dfrac{12-6\sqrt{3}}{6}$

    $=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 6\cdot (2-\sqrt{3})}{\diagup\!\!\!\! 6}$

    $\therefore~~\mathrm{tg}(15^\circ)=2-\sqrt{3}\qquad\checkmark$

Bons estudos!