Question

Sejam f e g, com $x \in R$, duas funções definidas por

$f(x) = {( \sqrt{2}) }^{3 \: sen \: x - 1}$

$g(x) = {( \frac{1}{2} )}^{3\: {sen}^{2}\: x - 1 }$

A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é igual a:

( Gabarito: $\frac{1}{2}$ )

#Cálculo e explicação

Answer 1

Olá!

Lembrando que os máximos e mínimos valores que a função sen x pode valer é +1 e -1, como em f(x) a base é um numero > 0 quanto menor o expoente, menor será o resultado, dessa forma o menor valor de f(x) será quando sen x = -1, então:

f(x) = (√2)^ 3.(-1) - 1 ∴ (√2)^-3-1 ∴ (√2)^-4 = (1 / √2)^4 

Vou fazer o caminho inverso da propriedade potência de potência:

((1 / √2)^2)^2 ∴ (1/2)^2 = 1/4 


No caso da g(x) como a base é < 0, quanto maior o expoente menor o resultado, então sen^2 (x) = 1, portanto: 

g(x) = (1/2)^3.1 - 1 ∴ (1/2)^3 - 1 = (1/2)^2 = 1/4

A soma dos menores valores de f(x) e g(x):

1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2

Qualquer questionamento, estou a disposição.