• Matéria: Matemática
  • Autor: Gustavo1111113455
  • Perguntado 8 anos atrás

O total de diagonais de dois polígonos regulares é 41.Um desses polígonos tem dois lados a mais que o outro.O ângulo interno do polígono que tem o ângulo central menor mede?

Respostas

respondido por: carloswms2012
14
Olá, tudo bem?

O número de diagonais de um polígono é dado por:
d= \frac{n(n-3)}{2}

Onde n é o número de lados. 
Vamos chamar o número de lados do polígono menor de "x" e do maior de "y", onde y=x+2 e montemos uma equação. Veja:

 \frac{x\cdot(x-3)}{2}+ \frac{y\cdot(y-3)}{2}=41\ \ (y=x+2)\\\\
x\cdot(x-3)+(x+2)\cdot(x+2-3)=41\cdot2\\
x\cdot(x-3)+(x+2)\cdot( x-1)=82\\
x^2-3x+x^2-x+2x-2=82\\\\
\boxed{2x^2-2x-84=0}\\
(a=2,b=-2,c=-84)

Agora resolva Bháskara:
2x^2-2x-84=0\ (para\ x\ \textgreater \ 0)\\\\
\Delta=b^2-4\cdot a\cdt c\\
\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-84)\\
\Delta=4-(-672)\\\\
\boxed{\Delta=676}\\\\\\
x= \frac{-b\±\sqrt{\Delta}}{2\cdot a} \\\\
x= \frac{-(-2)\± \sqrt{676} }{2\cdot2} \\\\
x= \frac{2\±26}{4}\\\\\\
x_1= \frac{2+26}{4}= \frac{28}{4}=\ \textgreater \ \boxed{x_1=7}\\\\\\
x_2= \frac{2-26}{4}= \frac{-24}{4}=\ \textgreater \ \boxed{x_2=-6}\\\\\\
\boxed{\boxed{S(Para\ x\ \textgreater \ 0)=\{7\}}}

\boxed{x=7}\\
y=x+2=\ \textgreater \ \boxed{y=9}

Descobrimos que polígonos têm 7 e 9 lados respectivamente.
sabemos também que quanto mais lados têm um polígono, menor é seu ângulo central. Logo o polígono que tem o ângulo central menor é o eneágono(polígono com 9 lados)

Pela fórmula que adaptamos na pergunta anterior podemos descobrir o valor de um ângulo interno desse polígono:

A= \frac{(n-2)\cdot180\°}{n}\\\\
A= \frac{(9-2)\cdot180\°}{9}=\\\\
A= \frac{7\cdot180\°}{9}=\\\\
A= \frac{1260}{9}\\\\
\boxed{\boxed{A=140\°}}

RESPOSTA:140°

Obs: Na equação do segundo grau coloquei o conjunto solução em x>0 porque não existe números de lados negativos.

Espero ter ajudado.
Bons estudos!
respondido por: jptheodoross
0

Logo, o polígono que tem mais lados é o eneágono (n = 9), e a soma das medidas de seus ângulos internos é 180º (9 - 2) = 180º . 7 = 1 260°.

Portanto, alternativa e.

Anexos:
Perguntas similares