Question

A função f(x)=ax^2+bx+c tem vértice no ponto (2,6) e uma raiz no ponto x=5. Determine a expressão de f (ou, em outras palavras, determine os valores dos coeficientes a, b e c

Answer 1

Olá

Temos que a função é $f(x)=ax^{2}+bx+c$ e temos dois pontos: (2,6) e (5,0) que pertencem a função.

Substituindo esses dois pontos na função, teremos:

$a(2)^{2}+2.b+c=6$
4a+2b+c = 0 (*)

$a(5)^{2}+5.b+c=0$
25a+5b+c=0 (**)

O vértice da parábola é definido da seguinte forma:

$V =(x_v,y_v) = ( -\frac{b}{2a},- \frac{delta}{4a})$

Daí, como o $x_v = 2$, temos que $- \frac{b}{2a} = 2$
b = 4a

Substituindo o valor de b em (*) e (**) teremos um sistema:

$\left \{ {{-4a+c=6} \atop {5a+c=0}} \right.$

Multiplicando a primeira equação por -1 e resolvendo o sistema, teremos:

$\left \{ {{4a-c=-6} \atop {5a+c=0}} \right.$
$9a=-6$
$a = - \frac{2}{3}$

Substituindo o valor de a em 5a + c = 0 teremos:

$5. \frac{-2}{3} + c = 0$
$c = - \frac{10}{3}$

Agora, substituindo o valor de a em b = -4a teremos:

$b = -4. \frac{-2}{3}$
$b = \frac{8}{3}$

Portanto, $a = - \frac{2}{3}, b = \frac{8}{3}, c = \frac{10}{3}$