• Matéria: Matemática
  • Autor: Rogeania
  • Perguntado 9 anos atrás

O ponto P pertence ao eixo y e equidista de A(-1, 1) e B(4, 2). Determine as coordenadas de P.

Respostas

respondido por: Lukyo
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Se um ponto P\left(x_{_{P}},y_{_{P}} \right ) é equidistante dos pontos A\left(x_{_{A}},y_{_{A}} \right ) e B\left(x_{_{B}},y_{_{B}} \right ), então o ponto P pertence à reta mediatriz do segmento \overline{AB}.


A reta mediatriz a um segmento é a reta que é ortogonal a este segmento que passa pelo ponto médio deste segmento.


O ponto médio do segmento 
\overline{AB} é o ponto M\left(x_{_{M}},y_{_{M}} \right ), onde

M\left(x_{_{M}},y_{_{M}} \right ) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} x_{_{M}}=\dfrac{x_{_{A}}+x_{_{B}}}{2}\\ \\ y_{_{M}}=\dfrac{y_{_{A}}+y_{_{B}}}{2} \end{array} \right.


O coeficiente angular m do segmento 
\overline{AB} é

m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_{_{B}}-y_{_{A}}}{x_{_{B}}-x_{_{A}}}

(sujeito a 
x_{_{B}} \neq x_{_{A}})


Conhecidas as coordenadas do ponto médio M, e o coeficiente angular do segmento 
\overline{AB}, a equação da reta mediatriz do segmento 
\overline{AB} é

y-y_{_{M}}=-\dfrac{1}{m}\cdot \left(x-x_{_{M}} \right )

(sujeito a 
m \neq 0).


Para os pontos 
A\left(-1,\,1 \right ) e B\left(4,\,2 \right ), temos que as coordenadas do ponto médio M são

x_{_{M}}=\dfrac{-1+4}{2}\\ \\ x_{_{M}}=\dfrac{3}{2}\\ \\ \\ y_{_{M}}=\dfrac{1+2}{2}\\ \\ y_{_{M}}=\dfrac{3}{2}


O coeficiente angular m do segmento 
\overline{AB} é

m=\dfrac{2-1}{4-\left(-1 \right )}\\ \\ m=\dfrac{1}{4+1}\\ \\ m=\dfrac{1}{5}


A equação da reta mediatriz do segmento 
\overline{AB} é

y-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{^{1}\!\!\diagup\!\!_{5}}\cdot \left(x-\dfrac{3}{2} \right )\\ \\ y-\dfrac{3}{2}=-5\cdot \left(x-\dfrac{3}{2} \right )\\ \\ y-\dfrac{3}{2}=-5x+\dfrac{15}{2}\\ \\ y=-5x+\dfrac{15}{2}+\dfrac{3}{2}\\ \\ y=-5x+\dfrac{15+3}{2}\\ \\ y=-5x+\dfrac{18}{2}\\ \\ y=-5x+9


Como o ponto 
P\left(0,y_{_P} \right ) pertence ao eixo y (x_{_P}=0), substituindo as coordenadas de P na equação da mediatriz, temos

y_{_{P}}=-5\cdot \left(0 \right )+9\\ \\ y_{_{P}}=0+9\\ \\ \boxed{y_{_{P}}=9}


O ponto procurado é 
P\left(0,\,9 \right )
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