Question

Determine a equação da reta que satisfaz as condições dadas:

a) reta passando por (-5,-4) e paralela à reta ligando (-3,2) e (6,8).

b) Reta passando por (-5,-4) e perpendicular à reta ligando (-3,2) e (6,8).

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Danieli, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar a equação da reta que satisfaz às condições das seguintes hipóteses:

a) A equação da reta que passa no ponto A(-5,-4) e que é paralela à reta que passa nos pontos: B(-3,2) e C(6,8).

a.i) Agora veja: quando duas retas são paralelas, elas têm o mesmo coeficiente angular (m). Então vamos logo encontrar qual é o coeficiente angular da reta que passa nos pontos B(-3; 2) e C(6; 8) pela fórmula:

m = (y₁-y₀)/(x₁-x₀) ---- substituindo-se pelas coordenadas dos pontos B e C acima, teremos:

m = (8-2)/(6-(-3))
m = (6)/(6+3)
m = (6)/(9) --- ou apenas:
m = 6/9 ---- simplificando-se numerador e denominador por "3", ficamos:
m = 2/3 <--- Este é o coeficiente angular da reta que passa nos pontos B(
-3; 2) e C(6; 8).

E note que será este mesmo coeficiente angular (m = 2/3) que vamos utilizar para encontrar a equação da reta que passa no ponto A(-5; -4)

a.ii) Agora veja: quando já se conhece o coeficiente angular (m) de uma reta e apenas um ponto por onde ela passa (x₀; y₀), então a sua equação será encontrada assim:

y - y₀ = m*(x - x₀).

Então, a reta que tem coeficiente angular igual a "2/3" (m = 2/3) e que passa no ponto A(-5; -4) terá a sua equação encontrada assim:

y - (-4) = (2/3)*(x - (-5)) ---- desenvolvendo, temos:
y + 4 = (2/3)*(x + 5) ---- note que isto é equivalente a:
y + 4 = 2*(x+5)/3 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
3*(y+4) = 2*(x+5) --- efetuando os produtos indicados nos 2 membros, temos:

3y + 12 = 2x + 10 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, teremos:
0 = 2x + 10 - 3y - 12 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes:
0 = 2x - 3y - 2 ---- finalmente, vamos apenas inverter, ficando:
2x - 3y - 2 = 0 <--- Esta é a resposta para o item "a". Ou seja, esta é a equação geral da reta que passa no ponto A(-5; -4) e é paralela à reta que passa nos pontos B(-3; 2) e C(6; 8).

b) A equação da reta que passa no ponto A(-5; -4) e que é perpendicular à reta que passa nos pontos B(-3,2) e C(6,8).

b.i) Já vimos que os pontos são os mesmos da questão do item "a". Então já temos que o coeficiente angular da reta que passa nos pontos B(-3; 2) e C(6; 8) é igual a "2/3", ou seja, já temos que m = 2/3

b.ii) E quando uma reta é perpendicular a uma outra,então o produto entre os coeficientes angulares dessas duas reetas deverá ser igual a "-1". Então vamos multiplicar (m = 2/3) por "m₁" e igualar a "-1". Assim:

m₁*(2/3) = -1 --- ou apenas:
2m₁/3 = - 1 --- multiplicando-se em cruz, teremos:
2m₁ = 3*(-1)
2m₁ = - 3
m₁= -3/2 <--- Este será o coeficiente angular que vamos utilizar para encontrar a equação da reta que passa no ponto A(-5; -4).
Assim, como já sabemos que a fórmula é esta:

y - y₀ = m₁*(x - x₀), então substituindo as coordenadas do ponto A(-5; -4) e substituindo o coeficiente angular por "-3/2" (m₁ = -3/2), teremos:

y - (-4) = (-3/2)*(x-(-5)) ---- desenvolvendo, teremos:
y + 4 = (-3/2)*(x+5) ---- veja que isto é equivalente a:
y + 4 = -3*(x+5)/2 --- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*(y+4) = -3*(x+5) --- efetuando os produtos indicados nos 2 membros,temos:

2y + 8 = - 3x - 15 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
2y + 8 + 3x + 15 = 0 --- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, teremos:

3x + 2y + 23 = 0 <--- Esta é a resposta para o item "b". Ou seja, esta é a equação geral da reta que passa no ponto A(-5; -4) e que é perpendicular à reta que passa nos pontos B(-3; 2) e C(6; 8).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.