Question

Resolver as equações:
√x-1=√2x-3
√x²-2=√x²-2x
√x²-3x+1=√x-4

Answer 1

Para resolver esse tipo de equação, devemos nos atentar pra o fato de que não existe raiz quadrada real de número negativo. Então, devemos fazer algumas restrições antes de resolver as equações

a) $\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-3}$

Devemos ter as restrições

$\begin{array}{rcl} x-1>0&\text{ e }&2x-3>0\\ \\ x>1&\text{ e }&2x>3\\ \\ x>1&\text{ e }&x>\dfrac{3}{2}\\ \\ \end{array}\\ \\ x>\dfrac{3}{2}$


$\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-3}\\ \\ \left(\sqrt{x-1} \right )^{2}=\left(\sqrt{2x-3} \right )^{2}\\ \\ x-1=2x-3\\ \\ x-2x=-3+1\\ \\ -x=-2\\ \\ x=2$


Como o valor de $x$ satisfaz a restrição $\left(2>\dfrac{3}{2} \right )$, então a solução é

$x=2$


b) $\sqrt{x^{2}-2}=\sqrt{x^{2}-2x}$

As restições são

$\begin{array}{rcl} x^{2}-2>0&\text{ e }&x^{2}-2x>0\\ \\ \end{array}$


$\sqrt{x^{2}-2}=\sqrt{x^{2}-2x}\\ \\ \left(\sqrt{x^{2}-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}-2x} \right )^{2}\\ \\ x^{2}-2=x^{2}-2x\\ \\ 2x=2\\ \\ x=\dfrac{2}{2}\\ \\ x=1$


Este valor de $x$ não satisfaz nenhuma das restrições. Logo, esta equação não tem solução real.


c) $\sqrt{x^{2}-3x+1}=\sqrt{x-4}$

As restrições são

$\begin{array}{rcl} x^{2}-3x+1>0&\text{ e }&x-4>0\\ \\ x^{2}-3x+1>0&\text{ e }&x>4\\ \\ \end{array}$


$\sqrt{x^{2}-3x+1}=\sqrt{x-4}\\ \\ \left(\sqrt{x^{2}-3x+1} \right )^{2}=\left(\sqrt{x-4} \right )^{2}\\ \\ x^{2}-3x+1=x-4\\ \\ x^{2}-3x-x+1+4=0\\ \\ x^{2}-4x+5=0\\ \\ \\ \Delta=\left(-4 \right )^{2}-4\cdot \left(1 \right )\cdot \left(5 \right )\\ \\ \Delta=16-20\\ \\ \Delta=-4<0$


Como o discriminante $\Delta$ é negativo, esta equação não possui raiz real.