Question

1) Determine o 7° termo do desenvolvimento de

a) (x/3 - x²/2)^9

B) (1/x² + x/2)^10 x≠0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Estudosa, que a resolução é simples, apenas um pouquinho trabalhosa porque envolve "binômio de Newton".
Mas vamos tentar fazer tudo bem passo a passo para um melhor entendimento, como sempre procedemos em nossas respostas.

i) Pede-se para determinar o 7º termo em cada um dos seguintes desenvolvimentos:

a) (x/3 - x²/2)⁹
e
b) (1/x² + x/2)¹⁰ , com x ≠ 0.

ii) Antes veja que o desenvolvimento de um binômio de Newton, da forma:

(x + a)ⁿ é dado assim:

C₍ ̪ ˏ₀₎*xⁿ⁻⁰a⁰ + C₍ ̪ ˏ₁₎*xⁿ⁻¹a¹ + C₍ ̪ ˏ₂₎*xⁿ⁻²a² + C₍ ̪ ˏ₃₎*xⁿ⁻³a³ + C₍ ̪ ˏ₄₎*xⁿ⁻⁴a⁴ + C₍ ̪ ˏ₅₎*xⁿ⁻⁵a⁵ + C₍ ̪ ˏ₆₎*xⁿ⁻⁶a⁶ + ......... + C₍ ̪ ˏ ̪ ₎*xⁿ⁻ⁿaⁿ

iii) Agora vamos para a a expressão do item "a", que é esta:

(x/3 - x²/2)⁹ e vamos dar qual é o 7º termo deste desenvolvimento.

Note que o 7º termo, como começamos de combinação de "n" tomado "0" a "0", vai ser exatamente dado por combinação de "9" tomado 6 a 6 (note que isto vai dar exatamente no 7º termo). Assim, teremos:

C₍₉,₆₎ = [9!/(9-6)!6!]*(x/3)⁹⁻⁶(-x²/2)⁶ ----- desenvolvendo, temos:
C₍₉,₆₎ = [9!/(3)!6!]*(x/3)³(-x²/2)⁶ ---- continuando o desenvolvimento, temos:
C₍₉,₆₎ = [9*8*7*6!/3*2*1!6!]*(x³/27)(x¹²/64) ---- continuando, temos:
C₍₉,₆₎ = [9*8*7/3*2*1]*(x³*x¹²/27*64) ---- continuando, teremos:
C₍₉,₆₎ = [504/6]*(x³⁺¹²/1.728) ---- continuando, teremos:
C₍₉,₆₎ = [84]*(x¹⁵/1.728) --- ou, o que é a mesma coisa:
C₍₉,₆₎ = 84x¹⁵/1.728 ---- simplificando-se numerador e denominador por "12", iremos ficar apenas com:

C₍₉,₆₎ = 7x¹⁵/144 <--- Esta é a resposta para o item "a". Ou seja, este é o 7º termo do desenvolvimento de (x/3 - x²/2)⁹

iv) Vamos, agora, para a expressão do item "b", que é esta:

(1/x² + x/2)¹⁰ , com x ≠ 0 ---- vamos, também, determinar o 7º termo.

Note: a exemplo da questão do item "a", vamos começar de combinação de "n" tomado "0" a "0". Então, o 7º termo vai ser dado por: combinação de "10" tomado "6" a "6". Assim, teremos:

C₍₁₀,₆₎ = [10!/(10-6)!6!]*(1/x²)¹⁰⁻⁶(x/2)⁶  ---- desenvolvendo, temos:
C₍₁₀,₆₎ = [10!/4!6!]*(1/x²)⁴(x/2)⁶ ---- continuando o desenvolvimento, temos:
C₍₁₀,₆₎ = [10*9*8*7*6!/4!6!]*(1/x⁸)(x⁶/2⁶) --- continuando, temos:
C₍₁₀,₆₎ = [10*9*8*7/4!]*(1/x⁸)(x⁶/64) --- continuando:
C₍₁₀,₆₎ = [10*9*8*7/4*3*2*1]*(1*x⁶/x⁸*64) --- continuando:
C₍₁₀,₆₎ = [5.040/24]*(x⁶/64x⁸) --- continuando o desenvolvimento:
C₍₁₀,₆₎ = 210*(1/64x²) ---- ou apenas:
C₍₁₀,₆₎ = 210/64x² ----- simplificando-se numerador e denominador por "2", ficaremos apenas com:

C₍₁₀,₆₎ = 105/32x² <---- Esta é a resposta para o item "b". Ou seja, este é o 7º termo pedido do desenvolvimento de (1/x² + x/2)¹⁰.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.