Question

Pergunta-se a um pai qual é a idade do filho, respondeu: Minha idade é o sêxtuplo da que ele tinha, quando eu tinha a idade que ele tem; e, quando ele tiver a idade que eu tenho, teremos juntamente 145 anos. qual é a idade do filho

Answer 1

Consideraremos x como idade do filho e y como idade do pai.
Na primeira parte do problema, o pai fala que a idade dele (y) é igual ao sêxtuplo da idade que seu filho tinha quando ele tinha a idade dele. Essa parte é complicada, mas vou explicar:
A idade do pai é y, a idade do filho é x. A idade do pai quando ele tinha a idade do filho é:
$y - (y - x)$

Por que? Bem, aqui y é a idade do pai e (y - x) é a diferença da idade do pai com o filho. Quando se faz a operação, tem-se a idade do filho:
$y - (y - x) \\ y - y + x \\ x$

Então, a idade do filho quando o pai tinha a idade x é:
$x - (y - x)$
Resolvendo:
$x - (y - x) \\ x - y + x \\ 2x - y$

Ou seja, quando o pai tinha a idade do filho (x) o filho tinha a idade de 2x - y.
Agora vem a próxima parte que fala que o pai tem o sêxtuplo da idade do filho quando o pai tinha a idade do filho, o que significa que o pai tem o sêxtuplo de 2x - y
$y = 6 \times (2x - y) \\ y = 12x - 6y \\ 7y = 12x \\ y = \frac{12x}{7}$
Então a idade do pai é 12/7 a idade do filho.
Agora vem a segunda parte, onde diz que quando o filho tiver a idade do pai, a soma de idade deles é 145. Traduzindo matematicamente, a idade do filho, quando ele tiver a idade do pai vai ser:
$x + (y - x)$
Continuando a resolução vemos que a equação é verdadeira:
$x + (y - x) \\ x + y - x \\ y$
Então a idade do pai quando a idade do filho dor igual a y vai ser:
$y + (y - x)$
Continuando a resolução:
$y + (y - x) \\ y + y - x \\ 2y - x$
Ou seja, qua do o filho tiver a idade do pai, o pai vai ter a idade de 2y - x. O problema fala que a soma desses é 145 então:
$x + (y - x) + y + (y - x) = 145 \\ y + 2y - x = 145 \\ 3y - x = 145$
Lembra lá em cima qua do eu falei que a idade do pai (y) é 12/7 da idade do filho (x)? Aqui se substitui o y por essa igualdade:
$3y - x = 145 \\ 3 \times ( \frac{12x}{7} ) - x = 145 \\ \frac{36x}{7} - x = 145 \\ \frac{36x}{7} - \frac{7x}{7} = 145 \\ \frac{29x}{7} = 145 \\ 29x = 145 \times 7 \\ 29x = 1015 \\ x = \frac{1015}{29}$

Assim:
$x = 35$
Então a idade do filho é 35 anos. Ainda usando a afirmação que a idade do pai é 12/7 da idade do filho:
$y = \frac{12x}{7} \\ y = \frac{12 \times 35}{7} \\ y = \frac{420}{7} \\ y = 60$
Então, a idade do filho é 35 anos e a idade do pai é 60 anos.
$x = 35 \\ y = 60$
Como você só precisa da idade do filho, a resposta é 35 anos.

Espero ter ajudado! ;)