Question

Preciso da resposta dessa inequação. Valeu!!

Answer 1

Olá!
 
    Para que o resultado de uma fração seja positivo, tanto numerador quanto denominador devem ter o mesmo sinal (ambos positivos, ou ambos negativos). Logo, analisemos para cada caso.

Se o numerador se fosse igual a zero, teríamos

$5x^2+x = 0\Leftrightarrow x(5x+1)=0\Leftrightarrow x = 0 \;\;\text{ou}\;\;x = -\dfrac{1}{5}.$

Essa equação acima é do segundo grau, com coeficiente do termo quadrado positivo. Ou seja, é uma parábola com "boca" pra cima. Como tem 2 raízes, corta o eixo x em dois lugares, sendo que entre esses dois valores a função é negativa e, antes do 0 e após o   $-\frac{1}{5}$   ela é positiva.

Resumindo:

$x\in(-\infty,-\frac{1}{5}]\cup [\frac{1}{5},\infty)\Rightarrow 5x^2+x \geqslant 0 \\ \\ x\in [-\frac{1}{5},0]\Rightarrow 5x^2 + x \leqslant 0$


Agora, para o denominador, temos:

$2+x=0\Leftrightarrow x=-2$

Daí,

$x\in [-2,\infty)\Rightarrow 2+x \geqslant 0 \\ \\ x\in (-\infty, -2]\Rightarrow 2+x\leqslant 0$

Então, a fração é positiva quando ocorrer:

1. 

$\left\{\begin{array}{l} x\in(-\infty,-\frac{1}{5}]\cup [\frac{1}{5},\infty)\\ \; \\ \text{e}\\ \; \\ x\in [-2,\infty)\end{array}\right.\Leftrightarrow x\in [-2,-\frac{1}{ 5}]\cup[\frac{1}{5},\infty)$

2.

$\left\{\begin{array}{l}x\in [-\frac{1}{5},0] \\ \; \\ e \\ \; \\x\in (-\infty, -2] \end{array}\right.\Leftrightarrow \text{Note que n\~ao h\'a interse\c c\~ao desses 2 conjuntos.}$


   Portanto, a resposta desta inequação é o seguinte conjunto solução S:

$S=\{x\in\mathbb{R}: x\in [-2,-\frac{1}{ 5}]\cup[\frac{1}{5},\infty)\} = \\ \\ = \{ x\in\mathbb{R}: -2\leqslant x\leqslant -\frac{1}{5}\;\;\text{ou}\;\;x\geqslant \frac{1}{5}\}.$



Bons estudos!