Question

Calcule Lim h->0 ( f(x +h)-f(x))/h sendo f dada por: f(x)=1/x
(o resultado é -1/X2)

Answer 1

Temos o seguinte:

$\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Logo, aplicando para $f(x) = \frac{1}{x}$, temos:

$\lim_{h \to 0} \dfrac{ \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} }{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{ \frac{x-(x+h)}{x(x+h)} }{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{-h}{x^2 + xh}}{h} \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{-h}{x^2 + xh} \cdot \frac{1}{h} = \lim_{h \to 0} -\frac{1}{x^2 + xh} = -\frac{1}{x^2 + x \cdot 0} = \boxed{-\frac{1}{x^2}}$