Question

A partir de uma matriz A de tamanho 3x3, fizemos as seguintes operações elementares, obtendo sequencialmente, as matrizes B,C e D:

A 3 x Segunda linha --> Segunda linha
B Primeira linha<--> Terceira linha
C 4 x Primeira linha + Segunda linha --> Segunda linha
D
Se D =$\left[\begin{array}{ccc}3&2&-1\\0&1&2\\0&0&5\end{array}\right]$ ; calcule o determinante de A.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, que se entendemos bem o enunciado da questão,embora ele não esteja tão claro, teremos isto:

i) Primeiro vamos chamar a matriz quadrada A(3x3) como sendo esta:

.......|a....b....c|
A = |d....e.....f|
......|g.....h.....i|

ii) Agora vamos fazer tal qual está informado:
Para encontrar a matriz B, multiplicou-se a segunda linha por "3" e nada mais, ou seja, ao fazer isso, a segunda linha ficou multiplicada por "3". Então a matriz B seria esta:

.......|a......b.....c|
B = |3d...3e...3f|
.......|g.....h.......i|

iii) Trocou-se a primeira linha pela terceira linha, para encontrar a matriz D. Assim, essa matriz C seria esta:

.......|g.......h.......i|
C = |3d....3e....3f|
.......|a.......b......c|

iv) Finalmente, para chegar à matriz D, fez-se o seguinte: multiplicou-se a primeira linha por "4" e somou-se com a segunda, ficando a segunda linha constituída dessa forma, ou seja, a matriz D seria esta:

.......|.....g............h.........i...|
D = |4g+3d...4h+3e...4i+3f|
.......|.....a............b..........c...|

Assim, se a matriz D é essa que acabamos de encontrar e ela já foi dada no enunciado da questão, então teremos que:

.......|....g.............h............ i...| = |3....2....-1|
.......|4g+3d...4h+3e...4i+3f| = |0....1.....2|
.......|....a............b...........c...| = |0....0.....5|

Assim, igualando cada elemento da primeira matriz com o seu respectivo elemento na segunda matriz, teremos que:

g = 3
h = 2
i = -1
4g+3d = 0      . (I)
4h+3e = 1      . (II)
4i+3f = 2        . (III)
a = 0
b = 0
c = 5

Agora vamos encontrar os valores de "d", "e" e "f". Para isso, primeiro vamos na expressão (I), que é esta:

4g + 3d = 0 ----como já vimos que g = 3, então teremos:
4*3 + 3d = 0
12 + 3d = 0
3d = -12
d = -12/3
d = -4 <---Este é o valor de "d".

Agora vamos na expressão (II), que é esta:

4h + 3e = 1 --- como já vimos que h = 2, então teremos:
4*2 + 3e = 1
8 + 3e = 1
3e = 1-8
3e = -7
e = -7/3 <--- Este é o valor de "e".

Finalmente, vamos na expressão (III), que é esta:

4i+3f = 2 ---- como já vimos que i = -1, teremos
4*(-1) + 3f = 2
-4 + 3f = 2
3f = 2+4
3f = 6
f = 6/3
f = 2 <--- Este é o valor de "f".

v) Agora vamos encontrar qual é a matriz A, que, como já vimos logo no início, é esta:

.......|a....b....c|
A = |d....e.....f|
......|g....h......i| ---- substituindo cada letra pelo seu valor encontrado acima, teremos e já colocando-a na forma de desenvolver para encontrar o seu determinante (regra de Sarrus), teremos:

.......|0........0......5|0.......0|
A = |-4....-7/3....2|-4...-7/3| ---- desenvolvendo, teremos o determinante (d):
......|3........2......-1|3........2|

d = 0*(-7/3)*(-1)+0*2*3+5*(-4)*2 - [3*(-7/3)*5+2*2*0+(-1)*(-4)*0]
d = 0 + 0 - 40 - [-105/3 + 0 + 0] ---- ou apenas:
d = - 40 - [-105/3] --- note que "-105/3 = -35". Logo:
d = - 40 - [-35] ---- retirando-se os colchetes, iremos ficar apenas com:
d = -40 + 35 ----- como "-40+35 = -5", então:
d = -5 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o determinante da matriz A.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.