Question

Se A é uma matriz quadrada invertivel tal que $A^{-1} = A^{t}$ ( ou seja, sua inversa é igual a sua transposta), prove que det A =1 ou det A=-1.

Answer 1

Vamos lá.

Veja,Dani, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para provar que se uma matriz quadrada invertível , tal que:

 A⁻¹ =  A ͭ ---- Ou seja, tal que sua matriz inversa seja igual à sua matriz composta, então det(A) será igual a  ± 1.

ii) Veja: vamos chamar a matriz da seguinte forma:


A = |a.....b|
......|c.....d|

E a sua transposta será esta:


A ͭ  = |a.....c|
........|b.....d| ---- veja: basta trocar as linhas pelas colunas da matriz A.

iii) Agora vamos representar a matriz inversa de A como sendo esta ("1" dividido pela matriz "A"):

A⁻¹ = 1/|a.....b|
............|c.....d|

iv) Então vamos tomar a matriz inversa como acima representamos e vamos igualar à matriz transposta. Assim, ficaremos:

1/|a.....b| = |a.....c|
...|c.....d|....|b.....d|  ----- multiplicando-se em cruz, teremos;

1 = |a.....b|*|a.....c|
......|c.....d|*|b.....d|  ---- desenvolvendo este produto, teremos

1 = |a²+b²......ac+bd|
......|ac+bd.....c²+d²| ----- ou, invertendo-se a igualdade, o que dá no mesmo, ficaremos assim:

|a²+b²......ac+bd| = 1
|ac+bd.....c²+d²|

Desenvolvendo para encontrar o determinante (d), teremos:

(a²+b²)*(c²+d²) - (ac+bd)*(ac+bd) = 1 ----- note que isto é a mesma coisa que:

(a²+b²)*(c²+d²) - (ac+bd)² = 1 ---- agora, sim, vamos desenvolver, ficando:
a²c²+a²d²+b²c²+b²d² - (a²c²+2abcd+b²d²) = 1 --- retirando-se os parênteses, teremos:
a²c² + a²d² + b²c² + b²d² - a²c² - 2abcd - b²d² = 1 --- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:

a²d² + b²c² - 2abcd = 1 --- note que o que temos no 1º membro é a mesma coisa que:

(ad-bc)² = 1 ---- agora, isolando (ad-bc), teremos isto:

ad-bc = ± √(1) ----- como √(1) = 1, teremos:
ad-bc = ± 1 <--- Pronto. Está provado que o determinante, no caso específico da sua questão, é, realmente igual a mais ou menos "1".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Como a matriz transposta de A é também a sua inversa, podemos escrever:

$AA^T=I$

Então, em termos de determinante:

$\det(AA^T) = \det(I)$

Usando que $\det(I)=1$, independentemente de sua ordem e que $\det(XY) = \det(X)\cdot\det(Y)$:

$\det(A)\cdot\det(A^T) = 1$

Além disso, podemos usar que $\det(A^T)=\det(A)$. Substituindo acima:

$\det(A)\cdot\det(A) = 1\\\\ \,[\det(A)]^2=1\\\\ \boxed{\det(A) = \pm1}~~~\blacksquare$

Como queríamos demonstrar.