Question

Se E é uma matriz 3x3 tal que $E^{3}$ = matriz nula,
mostre que $(I_{3} -E + E_{2} ) ^{-1}$ = $I_{3} + E$. ( $I_{3}$ denota a matriz identidade 3x3).

Answer 1

Todas as matrizes citadas no enunciado são da mesma ordem (3x3). Assim, podemos esse dado na hora de escrevermos as equações.

É dado que $E^3 = O$, onde $O$ é a matriz nula. Pede-se para provar que:

$(I-E+E^2)^{-1} = I+E$

Pela igualdade dada, podemos de antemão assumir que a matriz $I-E+E^2$ é inversível, já que a inversa dessa matriz é um dos termos presentes.

Vamos manipular a igualdade que queremos provar. Para isso, vamos utilizar o fato de que, se $A^{-1}$ é a inversa da matriz $A$, podemos dizer que $AA^{-1} = I$. Isto é, o produto de uma matriz com a sua inversa resulta na matriz identidade. 

Assim, como é difícil manipular o termo $(I-E+E^2)^{-1}$, podemos eliminá-lo multiplicando a equação dos dois lados por $(I-E+E^2)$. Assim, multiplicando os dois lados da igualdade por essa matriz (à esquerda):

$(I-E+E^2)^{-1} = I+E\\\\\ \underbrace{(I-E+E^2)(I-E+E^2)^{-1}}_{I} = (I-E+E^2)(I+E)\\\\ I = (I-E+E^2)(I+E)\\\\ I = (I^2-EI+E^2I)+(IE-E^2+E^3)$

Como, para $AI = IA = A$, temos:

$I = (I^2-EI+E^2I)+(IE-E^2+E^3)\\\\ I = I - E + E^2 + E - E^2 + E^3\\\\\ I = I + E^3\\\\\ O = E^3$

O que é verdade pelo dado no enunciado. Assim, terminamos a demonstração.

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Note que apenas chegar a uma igualdade verdadeira não seria suficiente para provarmos a expressão que manipulamos no início. O que de fato faz com que o procedimento que fizemos seja válido é que fizemos apenas passos "se e somente se", isto é, que valem tanto na ida, quanto na volta.

Isso significa que se tomarmos um caminho inverso ao que fizemos (isto é, partirmos de $E^3 = O$), chegaremos à equação que queremos provar, apesar de parecer artificial. Veja:

Sabemos que:

$E^3 = O$

Vamos manipular essa equação fazendo exatamente o inverso do que fizemos antes:

$E^3 = O\\\\ E^3 +(E^2-E^2)+(E-E)+(I-I) = O\\\\ (E^2-E+I)+(E^3 - E^2+ E)= I\\\\ (E^2-E+I)+(E^2-E+I)E = I\\\\ (E^2-E+I)(I+E) = I$

Multiplicando à esquerda dos dois lados pela inversa de E²-E+I:

$(E^2-E+I)(I+E) = I\\\\ (E^2-E+I)^{-1}(E^2-E+I)(I+E) = I(E^2-E+I)^{-1}\\\\ I(I+E) = (E^2-E+I)^{-1}\\\\ \boxed{(I+E) = (E^2-E+I)^{-1}}~~~\blacksquare$

Como queríamos demonstrar.