Question

O numero 12 escrito no sistema de base a, representa a mesma quantidade que o número 31 escrito no sistema de base b. Determine o menor valor do produto a.b:

A) 16
B) 90
C) 20
D) 36
E) 40

Answer 1

Um número $M$ com $n$ dígitos em uma base $b$, é escrito como

$M=d_{n-1}d_{n-2}\ldots d_{2}d_{1}d_{0}$

onde cada $d_{i}$ é um dígito do sistema de numeração na base $b$.


O valor desse número é

$M=d_{n-1}\cdot b^{n-1}+d_{n-2}\cdot b^{n-2}+ \ldots + d_{2}\cdot b^{2}+d_{1}\cdot b + d_{0}$


Para o número $12_{\text{base }a}$, devemos ter $a \geq 3$, pois $2$ é o maior dígito;

Para o número $31_{\text{base }b}$, devemos ter $b \geq 4$, pois $3$ é o maior dígito.


O número $12_{{\text{ base }a}$ tem dois dígitos, e para este número temos

$d_{0}=2\\ \\ d_{1}=1\\ \\ \\ 12_{\text{ base }a}=d_{1}\cdot a+d_{2}\\ \\ \boxed{12_{\text{ base }a}=1\cdot a+2}$


O número $31_{{\text{ base }b}$ também tem dois dígitos, e para este número temos

$d_{0}=1\\ \\ d_{1}=3\\ \\ \\ 31_{\text{ base }b}=d_{1}\cdot b+d_{0}\\ \\ \boxed{31_{\text{ base }b}=3\cdot b+1\\ \\}$


Como os números são iguais, então

$12_{\text{base }a}=31_{\text{base }b}\\ \\ 1\cdot a+2=3\cdot b+1\\ \\ a+2=3b+1\\ \\ a=3b+1-2 \\ \\ a=3b-1$


onde $a$ e $b$ são números inteiros positivos, $a \geq 3$ e $b \geq 4$.


Da nossa restrição inicial, temos que

$b \in \left\{4,\,5,\,6,\,7,\,\ldots \right\}$


Como queremos minimizar o produto $a \cdot b$, então tomamos o menor valor possível para $b$:


para $b=4$, temos

$a=3\cdot \left(4\right) - 1\\ \\ a=12-1\\ \\ a=11\;\;\;\text{(a condi\c{c}\~{a}o }a \geq 3\text{ \'{e} satisfeita)}\\ \\ \\ a \cdot b=11\cdot 4\\ \\ \boxed{a\cdot b=44}$


Se tomarmos qualquer outro valor possível para $b$, o produto será maior que $44$. Logo, as bases $a=11$ e $b=4$ são as que geram o produto mínimo.