Question

Matéria: Sistema de Numeração Não-Decimal:

Determine a representação de M = (14654) que está na base B, na base B + 1.

Por favor, explicar também.

Answer 1

Temos que

$M=14654_{\text{ base }B}$

onde $B \geq 7$, pois o maior dígito do número é $6$.


Decompondo $M$ para a base $B$, temos

$M=1B^{4}+4B^{3}+6B^{2}+5B+4$


$M$ é um polinômio de grau $4$ em $B$. Queremos reescrever $M$ como um novo polinômio em $B+1$.


Expandindo a potência $\left(B+1\right)^{4}$, temos

$\left(B+1 \right )^{4}=B^{4}+4B^{3}+6B^{2}+4B+1$


Logo, podemos reescrever $M$ assim

$M=1B^{4}+4B^{3}+6B^{2}+5B+4\\ \\ =\left(B^{4}+4B^{3}+6B^{2}+4B+1 \right )+B+3\\ \\ =\left(B+1\right)^{4}+\left(B+1 \right )+2\\ \\ =1\left(B+1\right)^{4}+0\left(B+1\right)^{3}+0\left(B+1 \right )^{2}+1\left(B+1 \right )+2 \\ \\ =10012_{\text{ base }\left(B+1 \right )}$