Question

(FUVEST) Dois balões esféricos A e B contêm massas iguais de um mesmo gás ideal e a mesma temperatura. O raio do balão A é duas vezes maior do que o raio do balão B. Sendo pA e pB as pressões dos gases nos balões A e B, Pode-se afirmar que pA/pB é igual a:

Answer 1

$\bullet$ Para esse exercício vamos utilizar a equação de Clapeyron $\Rightarrow$

                   
                          $\boxed{\bold{P \ . \ V = n \ . \ R \ . \ T}}$


Onde: 

$\circ$ P  $\Rightarrow$ Pressão.
$\circ$ V $\Rightarrow$  Volume.
$\circ$ n  $\Rightarrow$ Número de mols.
$\circ$ R $\Rightarrow$ Constante universal dos gases perfeita.$\circ$ T $\Rightarrow$ Temperatura.

$\circ$ Como o exercício pediu a relação $\dfrac{P(a)}{P(b)}$, vamos realizar algumas modificações na fórmula, afim de facilitar a resolução$\Rightarrow$


$P \ . \ V= n \ . \ R \ . \ T\\ \\ \bold{\boxed{P= \dfrac{n \ . \ R \ . \ T}{V}}}$


$\circ$ Portanto:

$P(a)= \dfrac{n(a) \ . \ R \ . \ T(a)}{V(a)} \\ \\ P(b)=\dfrac{n(b) \ . \ R \ . \ T(b)}{V(b)} \\ \\ \\ \dfrac{P(a)}{P(b)} = \dfrac{ \dfrac{n(a) \ . \ R \ . \ T(a)}{V(a)}}{\dfrac{n(b) \ . \ R \ . \ T(b)}{V(b)}}$

$\bullet$ Note que de acordo com o enunciado as massas, as temperaturas e os gases são iguais, logo:

n(a)=n(b)
T(a)=T(b)

$\circ$ E $\bold{R}$ correspondendo a constante universal dos gases, também é igual para os dois.

$\circ$ Sob esse viés:

$\dfrac{P(a)}{P(b)} = \dfrac{ \dfrac{\not n(a) \ . \ \not R \ . \ \not T(a)}{V(a)}}{\dfrac{ \not n(b) \ . \ \not R \ . \ \not T(b)}{V(b)}}$

$\dfrac{P(a)}{P(b)} = \dfrac{ \dfrac{1}{V(a)}}{\dfrac{ 1}{V(b)}}$

$\rightarrow \boxed{\bold{\dfrac{P(a)}{P(b)}= \dfrac{V(b)}{V(a)}}}$

$\bullet$ Sabe-se que os balões são esféricos, nesse sentido, para calcular seus volumes precisamos utilizar a fórmula de volume de uma esfera:

$\boxed{V(esfera)= \dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ r^{3} }{3}}$

$\circ$ Substituindo na fórmula de pressão encontrada:

$\dfrac{P(a)}{P(b)}= \dfrac{\dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ {r(b)^{3}}}{3}}{\dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ r(a)^{3} }{3}} }}$

$\dfrac{P(a)}{P(b)}= \dfrac{\dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ {r(b)^{3}}}{3}}{\dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ (2r(b)^{3}) }{3}} }}$

$\dfrac{P(a)}{P(b)}= \dfrac{\dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ {r(b)^{3}}}{3}}{\dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ 8r(b)^{3} }{3}} }}$

$\dfrac{P(a)}{P(b)}= \dfrac{\dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ {r(b)^{3}}}{3}}{\dfrac{32 \ . \ \pi \ . \ r(b)^{3} }{3}} }}$

$\dfrac{P(a)}{P(b)}= \dfrac{4 \ . \ \pi \ . \ {r(b)^{3}}}{3} \ .\ \dfrac{3}{32 \ . \ \pi \ . \ r(b)^{3} }$

$\dfrac{P(a)}{P(b)}= \dfrac{12 \ . \ \not \pi \ . \ \not {r(b)^{3}}}{96 \ . \ \not \pi \ . \ \not r(b)^{3} }$


$\dfrac{P(a)}{P(b)}= \dfrac{12}{96}$

$\boxed{\boxed{\bold{\dfrac{P(a)}{P(b)}= \dfrac{1}{8}}}}$