Question

O número 47 na base "a" representa o mesmo número que 74 na base "b". Admitindo que ambas as bases são inteiras e positivas, o menor valor possível para a+b é:
Favor explicar junto da resolução se possível: 

Answer 1

O número $47_{\text{base }a}$ possui dois dígitos:

$d_{0}=7\\ \\ d_{1}=4\\ \\ \\ 47_{\text{base }a}=d_{1}\cdot a+d_{0}\\ \\ \boxed{47_{\text{base }a}=4\cdot a+7}$

onde $a \geq 8$, pois o maior dígito deste número é $7$.


O número $74_{\text{base }b}$ também possui dois dígitos:

$d_{0}=4\\ \\ d_{1}=7\\ \\ \\ 74_{\text{base }b}=d_{1}\cdot b+d_{0}\\ \\ \boxed{74_{\text{base }b}=7\cdot b+4}$

onde $b \geq 8$, pois o maior dígito deste número também é $7$.


Como os números são iguais, devemos ter

$47_{\text{base }a}=74_{\text{base }b}\\ \\ 4a+7=7b+4\\ \\ 4a-7b=4-7\\ \\ 4a=7b-3\\ \\ \boxed{a=\dfrac{7b-3}{4}}$


Da equação acima, temos que o número $7b-3$ deve ser divisível por $4$.


Da nossa restrição inicial, temos que

$b \in \left\{8,\,9,\,10,\,11,\,\ldots \right \}\\ \\ 7b \in \left\{56,\,63,\,70,\,77,\,\ldots \right \}\\ \\ 7b-3 \in \left\{53,\,60,\,67,\,74,\,\ldots \right \}$


O menor elemento divisível por $4$ no conjunto acima é $60$. Logo, devemos ter

$7b-3=60\\ \\ 7b=60+3\\ \\ 7b=63\\ \\ b=\dfrac{63}{7}\\ \\ \boxed{b=9}\;\;\;\text{(satisfaz a condi\c{c}\~{a}o }b \geq 8\text{)}\\ \\ \\ a=\dfrac{7b-3}{4}\\ \\ a=\dfrac{60}{4}\\ \\ \boxed{a=15}\;\;\;\text{(satisfaz a condi\c{c}\~{a}o }a \geq 8\text{)}$


A soma mínima das duas bases é

$a+b=15+9\\ \\ \boxed{a+b=24}$