Question

Uma matriz quadrada Anxn é dita ORTOGONAL se $A.A^{t}$= $I_{n}$ =
$A^{t}.A$ . Verifique se a matriz M abaixo é ortogonal.

$A^{t}.A \left[\begin{array}{ccc}cosx&-senx&0\\senx&cosx&0\\0&0&1\end{array}\right]$

Answer 1

É dada a matriz M a seguir:

$M = \left[\begin{matrix}\cos x&-\sin x&0\\\sin x &\cos x &0\\0&0&1\end{matrix}\right]$

Pede-se para que se verifique se M é uma matriz ortogonal, isto é, se $M\cdot M^T=I$ (o que significa que a transposta de M é a sua inversa).

Primeiramente, vamos escrever a transposta de M:

$M^T=\left[\begin{matrix}\cos x&-\sin x&0\\\sin x &\cos x &0\\0&0&1\end{matrix}\right]^T\\\\\\ M^T=\left[\begin{matrix}\cos x&\sin x&0\\-\sin x &\cos x &0\\0&0&1\end{matrix}\right]$

Agora, basta verificarmos o resultado do produto $MM^T$:

$MM^T=\left[\begin{matrix}\cos x&-\sin x&0\\\sin x &\cos x &0\\0&0&1\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}\cos x&\sin x&0\\-\sin x &\cos x &0\\0&0&1\end{matrix}\right]=\\\\\\ =\left[\begin{matrix}\cos^2x+\sin^2x+0 &\cos x\sin x-\sin x\cos x+0&0+0+0\\\sin x\cos x-\sin x\cos x+0 & \sin^2x+\cos^2x+0&0+0+0\\0+0+0&0+0+0&0+0+1\end{matrix}\right]\\\\\\ =\left[\begin{matrix}1&0& 0\\0 & 1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\\\\\\ \Longrightarrow \boxed{MM^T=I}$

Portanto, a matriz M é ortogonal.