Question

De dois polígonos regulares, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Calcular a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos. Passo a passo por favor ;)

Answer 1

Dado um polígono de n lados, seu número de diagonais será dado por: $d_1=\frac{n(n-3)}{2}$

Dessa forma, considerando um polígono de n + 6 lados, seu número de diagonais será:
$d_2=\frac{(n+6)(n+6-3)}{2}=\frac{(n+6)(n+3)}{2}$

Mas nos foi dito que: $d_2=d_1+39$
Logo...
$\frac{(n+6)(n+3)}{2}=\frac{n(n-3)}{2}+39$
$n^2+9n+18=n^2-3n+78$
$12n=60$
$n=5$

Logo para o polígono 1 teremos:
$v_1=n=5$
$d_1=\frac{5(5-3)}{2}=5$

Para o segundo polígono teremos:
$v_2=n+6=11$
$d_2=5+39=44$

Total de vértices: $5+11=16$
Total de diagonais: $5+44=49$

Somando teremos: 65