Question

Qual a solução desta equação?

Answer 1

Oi duda,

Vamos elevar ao quadrado ambos lados para eliminar os radicais:
$( \sqrt{x+ \sqrt{x+8}})^2=2^2 \\ \\ x+ \sqrt{x+8}=4 \\ \\ (\sqrt{x+8})^2=(4-x)^2 \\ \\ x+8=16-8x+x^2 \\ \\ x^2-9x+8=0$

Note que chegamos numa equação do segundo grau, que tem como solução:
$\Delta = 81-4(1)(8) \\ \Delta = 81-32 \\ \Delta = 49 \\ \\ x' = \frac{9+7}{2}=\boxed{8} \\ \\ x'' = \frac{9-7}{2}= \boxed{1}$

Como trata-se de uma equação irracional, ao elevarmos ao quadrado os membros pode ocorrer de aparecer como resultado alguma raiz estranha à equação. Portanto, vamos verificar a igualdade das duas raízes encontradas:

Primeiro para a raiz 8:
$\sqrt{8+ \sqrt{8+8}}=2 \\ \\ \sqrt{8+ \sqrt{16}} = 2 \\ \\ \sqrt{12} \neq 2$

Agora para a raiz 1:
$\sqrt{1+ \sqrt{1+8}}=2 \\ \\ \sqrt{1+ \sqrt{9}} = 2 \\ \\ \sqrt{1+ 3} = 2 \\ \\\boxed{ \sqrt{4} = 2}$

Logo, a solução da equação é x = 1.

Bons estudos!