Question

sabendo que p (a 2) é equidistante de a (3 1) e b ( 2 4) calcular a abscissa de p

Answer 1

A reta mediatriz do segmento $\overline{AB}$ é a reta que passa no ponto médio deste segmento, e é ortogonal a este segmento (forma um ângulo de $90^{\circ}$).

A reta mediatriz do segmento $\overline{AB}$ contém todos os pontos que são equidistantes de $A$ e $B$.


Se o segmento $\overline{AB}$ não for vertical, podemos calcular o coeficiente angular (inclinação) deste segmento, que é

$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_{_{B}}-y_{_{A}}}{x_{_{B}}-x_{_{A}}}$


E as coordenadas do ponto médio $M\left(x_{_{M}},\,y_{_{M}} \right )$ do segmento $\overline{AB}$ são

$\left\{ \begin{array}{c} x_{_{M}}=\dfrac{x_{_{A}}+x_{_{B}}}{2}\\ \\ y_{_{M}}=\dfrac{y_{_{A}}+y_{_{B}}}{2} \end{array} \right.$


A equação da reta mediatriz do segmento $\overline{AB}$ é

$\boxed{y-y_{_{M}}=-\dfrac{1}{m}\cdot \left(x-x_{_{M}} \right )}$


Para os pontos $A\left(3,\,1 \right )$ e $B\left(2,\,4 \right )$, temos que o coeficiente angular é 

$m=\dfrac{4-1}{2-3}\\ \\ m=-3$


As coordenadas do ponto médio são

$x_{_{M}}=\dfrac{3+2}{2}\\ \\ x_{_{M}}=\dfrac{5}{2}\\ \\ \\ y_{_{M}}=\dfrac{1+4}{2}\\ \\ y_{_{M}}=\dfrac{5}{2}$


Logo, a equação da reta mediatriz do segmento $\overline{AB}$ é

$y-\,^{5}\!\!\diagup\!\!_{2} =\,^{-1}\!\!\diagup\!\!_{-3}\cdot \left(x-\,^{5}\!\!\diagup\!\!_{2}\right )\\ \\ \boxed{y-\,^{5}\!\!\diagup\!\!_{2} =\,^{1}\!\!\diagup\!\!_{3}\cdot \left(x-\,^{5}\!\!\diagup\!\!_{2}\right )}$


Como o ponto $P\left(a,\,2 \right )$ pertence a esta reta, então, substituindo as coordenadas de $P$ na equação acima, temos

$2-\,^{5}\!\!\diagup\!\!_{2} =\,^{1}\!\!\diagup\!\!_{3}\cdot \left(a-\,^{5}\!\!\diagup\!\!_{2}\right )\\ \\ \\ \dfrac{4-5}{2}=\dfrac{a}{3}-\dfrac{5}{6}\\ \\ \dfrac{-1}{2}=\dfrac{a}{3}-\dfrac{5}{6}\\ \\ \dfrac{-3}{6}=\dfrac{2a}{6}-\dfrac{5}{6}\\ \\ -3=2a-5\\ \\ 2a=-3+5\\ \\ 2a=2\\ \\ \boxed{a=1}$


O ponto é $P\left(1,\,2 \right )$.