Question

pontos A(1,2) b (3,4 ) determine o ponto C do 1° quadrante sobre a reta y=3x+2 de modo que o triangulo ABC tenha area 5

Answer 1

Olá.

Esse exercício é interessante, mas não é difícil.

O ponto C terá coordenadas C = (t; 3t + 2) 

Justificativa: C está sobre a reta y = 3x +2, logo, para x = t, temos y = 3t + 2. Assim, seu par ordenado (x, y) fica (t, 3t+2).


A área do triângulo determinado por três pontos é calculada como metade do determinante com suas coordenadas e terceiro componente 1. Isto é:

$A = \dfrac{1}{2}\cdot \left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\3&4&1\\t&3t+2&1\end{array}\right|$

Resolva esse determinante como preferir. Usarei o Teorema de Laplace.

$A = \dfrac{1}{2}\cdot \left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\3&4&1\\t&3t+2&1\end{array}\right|\\ \\ \\ 2A = 1.[4 - (3t+2)] - 2.(3 - t) + 1.[3(3t+2) - 4t]\\ \\ 2A = 4 - 2 - 6 + 6 -3t+2t+9t-4t\\ \\ 2A = 2 +4t$

Como A = 5, 2A = 10. Assim:

$10 = 2 + 4t\\ \\ 4t = 10-2\\ \\ 4t = 8\\\\ \boxed{t = 2}$

Assim, o ponto C será:

C = (2, 3.2 + 2)

C = (2, 8)