Question

Um número natural é composto dos algarismos 3A2A14 cujo algarismo A é o mesmo para ambas as posições do número. Quais os valores que A pode assumir para que esse número seja múltiplo de 6 ?

Answer 1

Olá!
    
     Note que o número termina em 4, ou seja, é par. Logo, é múltiplo de 2. Para que seja múltiplo de 6, basta que também seja múltiplo de 3 (pois múltiplo de 2 e 3 simultaneamente implica em múltiplo de 6).
 
    Lembre que a regrinha pra verificar se um número é múltiplo de 3 consiste em somar todos os algarismos do número e ver se o resultado é um múltiplo de 3. Se for, então o número todo é múltiplo de 3.
 
    Somando os algarismos fixos que temos do número dado, ficamos com:


$3+2+1+4=10.$

Ainda precisamos somar o valor do algarismo A, duas vezes, ou seja, somaremos 2A.
 
     Perceba que, após o número 10, os múltiplos de 3 são 12, 15, 18, 21, e por aí vai. As opções para A são os algarismos de 0 até 9. Vejamos quais deles, dentre essas opções, fornece 2A de tal modo que 2A + 10 seja múltiplo de 3.
Vejamos:

 
    Para A = 1:    $2A = 2\Rightarrow 2A+10=2+10=12$   que é múltiplo de 3.
    
    Para A = 4:    $2A = 8\Rightarrow 2A+10=8+10=18$   que é múltiplo de 3.

    Para A = 7:    $2A = 14\Rightarrow 2A+10=14+10=24$   que é múltiplo de 3.

    E esses são os únicos valores de A que vão funcionar (para A valendo qualquer um dos demais algarismos, o valor 2A + 10 não será múltiplo de 3)

 
    Portanto, os valores que A pode assumir são: A = 1 ou A = 4 ou A = 7. Assim o número 3A2A14 será múltiplo de 6.



Bons estudos!