Question

1) (2,5 Pontos) Resolva a equação LaTeX: x^3-4x^2-11x+30=0x3−4x2−11x+30=0 sabendo que LaTeX: x=-3x=−3 é uma raiz da equação.



2) (2,5 Pontos) Obtenha o quociente e o resto da divisão do polinômio:


LaTeX: P(x)=2x^4-3x^3+3x^2-x+4P(x)=2x4−3x3+3x2−x+4 por LaTeX: Q(x)=x^2+1Q(x)=x2+1



3) (2,5 Pontos) Determine a matriz inversa de LaTeX: A
=
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
4 &0
\end{bmatrix}



4) (2,5 Pontos) Determine os valores de LaTeX: \mu \in \mathbb{R}μ∈ℝ para os quais LaTeX: \text{det}(A -\mu I) = 0det(A−μI)=0 sendo LaTeX: A =
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix} e LaTeX: I =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} a matriz identidade.

Answer 1

Olá

1) Para essa questão utilizarei o dispositivo prático de Briot-Ruffini

Temos que $x^{3}-4x^{2}-11x+30=0$ e x = -3 é uma raiz.

Logo,

-3 | 1  -4  -11  30
      1  -7   10   0

ou seja, $x^{3} -4x^{2}-11x+30 = (x+3)(x^{2}-7x+10) = 0$

Resolvendo $x^{2}-7x+10=0$ utilizando Bháskara:

$x = \frac{-(-7) +- \sqrt{(-7)^{2} - 4.1.10} }{2.1}$
$x = \frac{7 +- \sqrt{49 -40} }{2}$
$x = \frac{7 +- 3}{2}$

$x' = \frac{7+3}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x" = \frac{7-3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Portanto, as raízes do polinômio dado são -3, 2 e 5

2) Temos que 
$P(x) = 2x^{4}-3x^{3}+3x^{2}-x+4$ e
$Q(x) = x^{2}+1$

Para efetuar a divisão de polinômios, temos que armar a conta de divisão:

$2x^{4}-3x^{3}+3x^{2}-x+4$ | $x^{2}+1$
$-2x^{4}-2x^{2}$                   | $2x^{2}-3x+1$

$-3x^{3}+x^{2}-x+4$
$3x^{3}+3x$

$x^{2}+2x+4$
$-x^{2}-1$

$2x+3$

Logo, temos que o resto é 2x + 3 e o quociente é igual a $2x^{2}-3x+1$

3) Agora vamos determinar a matriz inversa $A = \left[\begin{array}{ccc}2&1\\4&0\end{array}\right]$

O produto da matriz A pela sua inversa tem que dá a matriz identidade.

Chamarei a matriz inversa de $A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$

Daí, temos que:

$\left[\begin{array}{ccc}2&1\\4&0\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Fazendo a multiplicação, obtemos:

{2a + c = 1
{2b + d = 0
{4a = 0
{4b = 1

Da terceira equação, temos que a = 0. Da primeira equação, temos que c = 1. Da quarta equação, temos que b = 1/4 e da segunda equação, temos que d = -1/2

Portanto, a matriz inversa é

$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{4} \\1& \frac{-1}{2} \end{array}\right]$

4) Temos que:

$A = \left[\begin{array}{ccc}2&1\\0&1\end{array}\right]$ e $I = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Daí, 

$A -uI = \left[\begin{array}{ccc}2&1\\0&1\end{array}\right] - u. \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$
$A -uI = \left[\begin{array}{ccc}2&1\\0&1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}u&0\\0&u\end{array}\right]$
$A -uI = \left[\begin{array}{ccc}2-u&1\\0&1-u\end{array}\right]$

Calculando o determinante e igualando a 0, temos que:

$(2-u)(1-u)=0$
$2 -2u-u+u^{2}=0$
$u^{2}-3u+2=0$

Utilizando Bháskara, temos que:

$u = \frac{-(-3) +- \sqrt{(-3)^{2} - 4.1.2} }{2.1}$
$u = \frac{3 +- \sqrt{9 -8} }{2}$
$u = \frac{3 +- 1}{2}$

$u' = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$u" = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Portanto, u = 1 ou u = 2