Question

considerem-se todos os rentangulos de perímetro 80m. A area maxima que pode ser associada a um desses retangulos  é:

Answer 1

Se um triângulo tem 80cm de perímetro, então seus lados só podem ter 30 de comprimento e 10 de largura, então conclui-se que:

10 X 30 = 300cm² de área.

Answer 2

Vamos ver o perímetro do retângulo primeiro

2b + 2h  (duas vezes a medida da base mais duas vezes a medida da altura)

temos então que 2b+2h = 80 m

A área do retângulo vai variar sempre de forma que o perímetro continue valendo 80m, ok?

Vamos ajeitar essa expressão

2b+2h = 80
2(b+h)=80
b+h=40
b=40-h

Agora temos que a área é dada por base vezes altura

A = b.h
A = (40-h).h (substituindo o valor de b na expressão)
A = 40h - h2

Temos então uma equação do segundo grau aqui

-h2 +40h = 0

Lembra do gráfico de equação do segundo grau? é uma parábola. E a área vai ser máxima quando você estiver olhando o valor do vértice desta parábola

Calculando então o vértice temos

y do vértice = - (delta) / 4a

yv = - (40(2) - 4. (-1).0) 4(-1)

yv = -1600 / -4

yv = 400

Ou seja temos uma área máxima de 400 m2 para o retângulo de perímetro 80m

Calculando o xv (x do vértice) vamos ver para que valor isso acontece

xv = -b/2a

xv = -40/2(-1)

xv = 20

Ou seja quando h=20 temos

-h2 +40h = 0
-(20)2 +40(20) = -400 + 800 = 400

e para conferir temos que quando h=20 temos que b = 40-h

b = 20

Portanto o nosso retângulo tem base 20 e altura 20 ou seja (olha que interssante)

O retângulo de maior área existente é na realidade um quadrado.