Question

A função y=ax²+bx+c tem vértice no ponto (2,6) e uma raiz no ponto x=5. Determine a expressão de y(ou, entre outras palavras, determine os valores dos coeficientes a. b e c.

Answer 1

Olá

Temos que as coordenadas do vértice de uma parábola é dada por 

$x_v = - \frac{b}{2a}$ e $y_v = - \frac{(b^{2}-4ac)}{4a}$

Daí, como $x_v = 2$, então, temos que:

$2 = - \frac{b}{2a}$
$4a = -b$
$b = -4a$

Como (0,5) pertence à parábola, já que 5 é uma raiz, e b = -4a, temos que:

$(5)^{2}a+5b+c=0$
$25a + 5(-4a) + c = 0$
$25a - 20a + c = 0$
$5a + c = 0$
$c = -5a$

Temos também que o ponto (2,6) pertence à parábola. Logo, substituindo esse ponto e os valores de b e c, temos que:

$(2)^{2}a+2b+c=6$
$4a + 2(-4a) -5a = 6$
$-a - 8a = 6$
$-9a = 6$
$a = -\frac{6}{9} = - \frac{2}{3}$

Agora substituindo o valor de a encontrado em c = -4a e em b = -4a, temos que:

$b = -4 (\frac{-2}{3}) = \frac{8}{3}$

$c = -5( \frac{-2}{3}) = \frac{10}{3}$

Portanto, a parábola é $y = \frac{-2x^{2}+8x+10}{3}$

Answer 2

Resposta:

A equação da reta é:

$\boxed{y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{8}{3}x+\frac{10}{3}}$

Explicação passo-a-passo:

Note que temos três incógnitas para calcular nesse exercício: os coeficientes a, b e c. Por isso, precisamos de três relações que envolvam essas variáveis para determinar seu valor.

Uma vez que o ponto x = 5 é raiz da equação, sabemos que nesse ponto temos y = 0. Substituindo na equação, obtemos a primeira relação. Depois, devemos utilizar as informações do vértice da parábola, tanto em X quanto em Y, para estabelecer mais duas relações.

Por fim, teremos três equações e três incógnitas. Portanto, basta substituir uma equação na outra e calcular os valores dos coeficientes e determinar a equação da reta.

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