Question

Considere as funções f(x)= $\sqrt{ x^{2} +1}$ e g(x)= $\sqrt{x(x-1)} }$. É correto afirmar que dominio da função fg é:

a) {0.,1}
b) ∅.
c) |R.
d) (-∞,0) ∪ (1,+∞).
e) (0,1).

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, que a resolução é mais ou menos simples.

i) Tem-se que:

f(x) = √(x²+1)
e
g(x) = √[x*(x-1)] ---- vamos efetuar o produto indicado dentro do radical, com o que ficaremos assim:

g(x) = √(x²-x) <--- Esta é a função g(x) após havermos efetuando o produto indicado no radicando (que é o que está dentro do radical).

ii) Agora vamos ao que está sendo pedido, que é para determinar o domínio da função f[g(x)].
Veja: para isso, iremos na função f(x) = √(x²+1) e substituiremos o "x" por g(x). Assim, fazendo isso, teremos:

f[g(x)] = √[(g(x))² + 1] ----- mas g(x) = √(x²-x). Então vamos substituir, ficando assim:

f[g(x)] = √[√(x²-x)² + 1] ----- note que (x²-x), por estar ao quadrado, sairá de dentro da raiz que está dentro da outra raiz. Assim, ficaremos apenas com:

f[g(x)] = √(x²-x) + 1] ---- ou, retirando-se os parênteses de dentro do radical, ficaremos assim:

f[g(x)] = √(x²-x+1)

iv) Agora veja isto e não esqueça mais: radicais de índice par (como é o caso acima, pois raiz quadrada tem índice "2" e "2" é par) só admitem radicandos que sejam MAIORES ou IGUAIS a zero. Então vamos impor que o radicando acima seja maior ou igual a zero. Fazendo isso, teremos:

x² - x + 1 ≥ 0

Mas note uma coisa importante: a equação acima tem delta menor do que zero. E, assim, ela não terá raízes reais, mas apenas raízes complexas. E quando isso ocorre você vai ver qual é o sinal do termo "a" (o termo "a" em equações do 2º grau é o coeficiente de x²). Se o coeficiente do termo "a" for positivo então a função será positiva para qualquer valor de "x" real (claro que se o termo "a" fosse negativo, a função seria negativa para qualquer valor real de "x"). Mas como o termo "a" é positivo, então a função f[g(x)] será SEMPRE positiva para qualquer que venha a ser o "x" real.
Logo, o domínio da função acima, que é esta:

x² - x + 1 ≥ 0 serão todos os Reais, ou seja, qualquer que venha a ser o "x" real verificará a condição de "x²-x+1" ser maior ou igual a zero.
Logo, o domínio da função f[g(x)] = √(x²-x+1) será:

IR <--- Esta é a resposta. Opção "c".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.